Encontre a reta tangente à astroide x 2 3 + y 2   3 =   a 2 3 , em que a > 0 é um constante, em um

ponto P ( x 0   , y 0 ) da curva.

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado nos pede para calcular a reta tangente à astroide em um ponto arbitrário P ( x 0   , y 0 ) . Bem, a gente sabe que para calcular a inclinação de uma função precisamos calcular a sua derivada. No entanto, precisamos notar que mesmo se escrevermos y em função de x, uma astroide não é uma função, porque para cada x existe mais de uma imagem, visto que tanto valores positivos da raiz ±   a 2 3 - x 2 3 3 quanto negativos são solução para y(x). Mas, nem tudo está perdido! Apesar de não podermos escrever a astroide inteira como uma função, sabemos que ela é simétrica em x. Dá uma olhada na figura abaixo:

Da figura, devido a simetria da astroide, a gente percebe que, para um dado x, teremos uma inclinação da reta tangente para a parte positiva da função (correspondente à y ( x )   =   +   a 2 3 - x 2 3 3   ) e uma inclinação da reta tangente para a parte negativa (correspondente à y ( x )   =   -   a 2 3 - x 2 3 3 ) que serão iguais em módulo para o mesmo x, visto que a única distinção entre as curvas é o sinal. Então, vamos nos restringir a determinação da inclinação da reta tangente para a parte positiva. Então, bora lá!

Passo 2

Bem, agora nossa missão é derivar y ( x )   =   a 2 3 - x 2 3 3   em relação a x. Para isso, vamos utilizar a regra da cadeia. Definindo as funções h ( w ) = w 3 2   e w ( x ) =   a 2 3 - x 2 3 , podemos escrever a função y(x) como y ( x )   =   h ( w ( x ) ) . Pela regra da cadeia, temos que a derivada de y em relação à x é:

y ' ( x )   =   d d x y ( x )   =   d d w h ( w ) × d d x w ( x )   = 3 2 a 2 3 - x 2 3   × - 2 3 x - 1 3

Logo, a inclinação da reta tangente a um ponto de coordenadas ( x 0 ,   y 0 ) é - x 0 - 1 3 a 2 3 - x 0 2 3   . Esse é o nosso coeficiente angular. Agora precisamos determinar o coeficiente linear da reta y ( x )   =   a x + b . Para um ponto sobre a astroide de coordenadas x 0 , y 0 , temos que o coeficiente linear é dado por b   = y 0 - a × x 0 . Então, substituindo a expressão encontrada para o coeficiente angular, obtemos:

b   = y 0   +   x 0 2 3 a 2 3 - x 0 2 3

Assim, a equação da reta tangente à um ponto da astroide é dada por

y 1 ( x )   = - x 0 - 1 3 a 2 3 - x 0 2 3 x + y 0   +   x 0 2 3 a 2 3 - x 0 2 3  

Para a parte negativa da astroide, tudo que precisamos fazer é trocar o sinal da “função” y ( x )   =   a 2 3 - x 2 3 3   , o que nos renderá o mesmo coeficiente angular no ponto P ( x 0 ,   - y 0 ) , mas com sinal trocado.

a   =   x 0 - 1 3 a 2 3 - x 0 2 3

E, o coeficiente linear será dado por

b   =   - y 0   -   x 0 2 3 a 2 3 - x 0 2 3

Assim, a equação da reta tangente para a parte negativa é dada por

y 2 ( x )   = x 0 - 1 3 a 2 3 - x 0 2 3 x - y 0   -   x 0 2 3 a 2 3 - x 0 2 3  

Resposta

Eq. da reta tangente, y ≥ 0 : - x 0 - 1 3 a 2 3 - x 0 2 3 x + y 0   +   x 0 2 3 a 2 3 - x 0 2 3

Eq. da reta tangente, y < 0 :   x 0 - 1 3 a 2 3 - x 0 2 3 x - y 0   -   x 0 2 3 a 2 3 - x 0 2 3

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