Existe algum ponto do gráfico de y = x 3 + x + 4 onde a reta tangente é paralela à reta y = 2 x - 1 ?

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para verificar se existe algum ponto do gráfico de y = x 3 + x + 4 onde a reta tangente é paralela à reta y = 2 x - 1 .

Então... vale lembrar que duas retas são paralelas quando ambas possuem os mesmos coeficientes angulares.

Dessa forma, em outras palavras, a questão quer que igualemos o coeficiente angular da reta tangente (que é a derivada) à curva y = x 3 + x + 4 com o coeficiente angular da reta y = 2 x - 1 .

Para isso, como estamos trabalhando com derivadas, podemos utilizar a regra da potência!!

Seja g u = u n   uma função derivável.

Então, pela Regra da Potência, sua derivada g ' u é dada por:

g ' u = n u n - 1

Agora é só aplicar para nossa função!

😉

Passo 2

Assim, fazendo a derivada da curva y = x 3 + x + 4 , temos:

y ' = 3 x 3 - 1 + 1 x 1 - 1 + 0 ∴

y ' = 3 x 2 + 1

Que é o coeficiente angular.

Pela equação da reta y = a x + b , vemos que o coeficiente angular da reta y = 2 x - 1 é 2 .

Agora, vamos igualar os coeficientes angulares!!

Passo 3

Nesse sentido, temos:

3 x 2 + 1 = 2 ∴

x 2 = 1 3 ∴

x = ± 3 3

Substituindo cada valor em y = x 3 + x + 4 , podemos descobrir os pontos onde a reta tangente é paralela à reta y = 2 x - 1 :

  • Para x = 3 3 :
  • y = 3 3 3 + 3 3 + 4 ∴

    y = 36 + 4 3 9

  • Para x = - 3 3 :

y = - 3 3 3 - 3 3 + 4 ∴

y = 36 - 4 3 9

Dessa forma, temos os pontos 3 3 , 36 + 4 3 9 e - 3 3 , 36 - 4 3 9 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

3 3 , 36 + 4 3 9 e - 3 3 , 36 - 4 3 9

Exercícios de Livros Relacionados

Quantas retas tangentes à curva y = x / ( x + 1 ) passam pelo ponto ( 1 ,2 ) ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?
Se G x = 4 x 2 - x 3 , encontre G ' ( a ) e use-o para encontrar equações das retas tangentes à curva y = 4 x 2 - x 3 nos pontos ( 2 ,8 ) e ( 3,9 ) .Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tan
Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2 1 + e - x no ponto 0,1 .Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.
Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = 0 ,f ' 0 = 3,f ' 1 = 0ef ' 2 = - 1