3. Extras

b) Considere a função definida por

f x = ∫ - 1 x 2 sen ⁡ π 2 t 3 d t .

Determine a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x = 1 .

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão temos uma função é definida por uma integral:

f x = ∫ - 1 x 2 sen ⁡ π 2 t 3 d t

E daí precisamos achar a reta tangente ao gráfico dessa função no ponto x = 1 .

Quando a gente fala de reta tangente já lembra de derivada.

Podemos representar a equação da reta por:

y = a x + b

E pra reta tangente a uma função f x temos a relação de que o coeficiente angular da reta é a derivada da função no ponto de tangência, então, como o ponto de tangência é x = 1 :

a = f ' 1

Maaas pra calcular a derivada dessa função, por ser uma integral, usaremos o Teorema fundamental do cálculo:

f ' x = h g x g ' x

Onde:

f x = ∫ c g x h x d x

Mas vamos botar a mão na massa pra ficar mais fácil de enxergar...

Passo 2

Como h t = sen ⁡ π 2 t 3 e g x = x 2 , então a derivada de f :

f ' x = h g x g ' x

= sen ⁡ π 2 x 2 3 2 x

= 2 x sen ⁡ π 2 x 6

Mas queremos no ponto x = 1 , então:

f ' 1 = 2 1 sen ⁡ π 2 1 6

= 2 sen ⁡ π 2

= 2 1

= 2

Passo 3

Colocando na equação da reta, com a = f ' 1

y = a x + b

= f ' 1 x + b

= 2 x + b

y = 2 x + b

Maaaas falta encontrar o valor de b , certo?

Podemo usar o ponto de tangência, né? Nesse ponto, a equação da reta é igual ao valor da função. Então pra y com x = 1 vai ser igual a f 1 :

y x = 1 = f 1

2 1 + b = ∫ - 1 1 2 sen ⁡ π 2 t 3 d t

2 + b = ∫ - 1 1 sen ⁡ π 2 t 3 d t

Passo 4

Resolvendo essa integral aí conseguimos achar o valor de b .

Calma, calma... Antes de tentar resolver essa integral meio feia, repara que os limites de integração são simétricos. Hummmm... temos propriedades de integrais com limites de integração simétricos, né?

Quando temos a integral de uma função ímpar p x com os limites de integração simétricos, a integral vale ZERO...

Como seno é uma função ímpar, então:

∫ - 1 1 sen ⁡ π 2 t 3 d t = 0

Portanto:

2 + b = ∫ - 1 1 sen ⁡ π 2 t 3 d t

2 + b = 0

b = - 2

Voltando pra equação da reta tangente:

y = 2 x + b

y = 2 x - 2

Resposta

y = 2 x - 2

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