Mostre que se f é constante, então f ' x = 0 para todo o domínio de f .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para mostrar que a derivada de f é igual a zero em todo o domínio da função f que é constante.

Bom... Se f é uma função constante, isso significa que o valor de f ( x ) é o mesmo para qualquer valor de x em seu domínio.

Nesse sentido, podemos recorrer à definição de derivada (mostrada abaixo) para podermos provar isso!!

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Onde h é o intervalo de variação.

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Bom... A derivada de uma função representa a taxa de variação instantânea da função em relação a x .

Para uma função constante, não há variação, pois o valor da função permanece o mesmo para todos os valores de x .

Nesse sentido, vamos considerar um valor qualquer de x no domínio de f .

Seja a constante c o valor de f ( x ) para qualquer x nesse domínio. Ou seja, f ( x )   =   c para todo x no domínio.

Passo 3

Assim, a derivada f ' ( x ) , é definida como o limite da taxa de variação média de f em relação a x à medida que o intervalo de variação h se aproxima de zero (como foi mostrado no Passo 1):

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Substituindo f ( x ) por c em todas as ocorrências, temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ c - c h ∴

f ' x = lim h → 0 ⁡ 0 ∴

f ' x = 0

Portanto, f ' ( x ) é igual a zero para todo o domínio de f , uma vez que f é uma função constante.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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