Mostre que qualquer par de retas tangentes à parábola y = a x 2 , ( a ≠ 0 ) tem como interseção um ponto que está numa reta vertical que passa pelo ponto médio do segmento que une os pontos de tangência destas retas.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu uma parábola e disse que temos pontos de tangência pertencentes a essa parábola, que a gente pode chamar assim:

P 1 = ( x 1 ,   a x 1 2 )

P 2 = ( x 2 ,   a x 2 2 )

A interseção da retas de tangência está sobre uma reta vertical que passa entre os pontos P 1 e P 2 , no ponto médio entre as retas. É isso que queremos demonstrar.

Vamos lá!

Passo 2

Para escrever a reta tangente, a gente precisa da derivada da função da parábola y = a x 2 , que será dada por:

y ' = 2 a x

Agora escrevendo a reta tangente que passa por P 1 , temos:

y - a x 1 2 = 2 a x 1 ( x - x 1 )

E a reta tangente que passa por P 2 :

y - a x 2 2 = 2 a x 2 ( x - x 2 )

Passo 3

Para encontrar a interseção dessas duas retas, vamos igualar as duas. Primeiro, isolando y nas duas:

y = a x 1 2 + 2 a x 1 ( x - x 1 )

y = a x 2 2 + 2 a x 2 ( x - x 2 )

Agora igualando:

a x 1 2 + 2 a x 1 x - x 1 = a x 2 2 + 2 a x 2 ( x - x 2 )

2 a x x 1 - 2 a x x 1 2 + a x 1 2 = a x 2 2 + 2 a x x 2 - 2 a x 2 2

2 a x x 1 - a x 1 2 = 2 a x x 2 - a x 2 2

Colocando a em evidência:

a 2 x x 1 - x 1 2 = a 2 x x 2 - x 2 2

Simplificando:

2 x x 1 - x 1 2 = 2 x x 2 - x 2 2

2 x x 1 - 2 x x 2 = - x 2 2 + x 1 2

2 x x 1 - x 2 = - x 2 2 + x 1 2

Usando o produto notável do lado direito da equação:

2 x x 1 - x 2 = ( x 1 - x 2 ) ( x 1 + x 2 )

Simplificando novamente:

2 x = x 1 + x 2

Assim,

x = x 1 + x 2 2

Essa igualdade nos mostra que a coordenada x da interseção entre as retas de tangência passa pelo ponto médio das coordenadas dos pontos de tangência x 1 e x 2 . Como queríamos demonstrar.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

x = x 1 + x 2 2

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