Obtenha dois pontos P e Q pertencentes ao gráfico de g(x) = 2x³ − 3x² -3x para os quais as respectivas retas tangentes são paralelas à reta com equação y = 3x − 2.

Passo 1

E aí galerinha, vamos destruir essa questão comigo? Vamos láaaa!

para que as retas tangentes sejam paralelas à reta y = 3x − 2., a inclinação das retas tangentes deve ser igual à inclinação da reta y = 3x − 2., ou seja, m=3.

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função g(x)=2x³−3x²−3x

Depois, igualaremos a derivada a 3 e resolveremos para encontrar os pontos P e Q.

2 - 2 2 ⋅ 2 + 1 1 - 2 = 1 - 1 = - 1

Passo 2

Encontrando a derivada de g(x):

g x = 2 x ³ - 3 x ² - 3 x  

Usando a regra de potência e a regra da soma para diferenciação, obtemos:

g ' x = 6 x   ²   - 6 x - 3  

Passo 3

Igualando a derivada a 3 para encontrar os pontos de tangência:

g ' x = 3  

g ' x = 6 x - 2 6 x - 3 = 3  

Simplificando a equação:

6 x - 2 6 x - 6 = 0  

Dividindo todos os termos por 6:

x - 2 x - 1 = 0  

Passo 4

Agora, podemos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de x:

x - 2 x - 1 = x - 2 x + 1 = 0

Isso nos dá duas soluções possíveis para x:

x - 2 = 0   ⟹   x = 2

x + 1 ⟹ x = - 1

Agora que temos os valores de x, podemos encontrar os pontos correspondentes P e Q substituindo-os na função g(x):

Para x=2: P(2,g(2))=P(2,2³−3⋅2²−3⋅2)=P(2,−10)

Para x=−1: Q(−1,g(−1))=Q(−1,(−1)³−3⋅(−1)²−3⋅(−1))=Q(−1,1)

Resposta

Portanto, os pontos P e Q são P( 2,−10) e Q(−1,1), respectivamente. As retas tangentes aos pontos P e Q no gráfico de g(x) terão inclinações paralelas à reta y = 3x − 2

Exercícios de Livros Relacionados

Quantas retas tangentes à curva y = x / ( x + 1 ) passam pelo ponto ( 1 ,2 ) ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?
Se G x = 4 x 2 - x 3 , encontre G ' ( a ) e use-o para encontrar equações das retas tangentes à curva y = 4 x 2 - x 3 nos pontos ( 2 ,8 ) e ( 3,9 ) .Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tan
Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2 1 + e - x no ponto 0,1 .Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.
Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = 0 ,f ' 0 = 3,f ' 1 = 0ef ' 2 = - 1