11.2

b) Obtenha a equação da reta tangente à curva dada por y x 3 + x y 2 + 2 x y + y + x 4 = 1 no ponto 1 , - 4 .

Passo 1

Falaa... tudo bem??

Nessa questão vamos achar a equação da reta tangente à curva y x 3 + x y 2 + 2 x y + y + x 4 = 1 no ponto 1 , - 4 .

Pra isso vamos lembrar que a equação da reta é representada pro:

y = a x + b

E que o a é o coeficiente angular e é a derivada da função dada naquele ponto dado, o d y d x .

Pra isso vamos usar derivação implícita.

Passo 2

Derivando y x 3 + x y 2 + 2 x y + y + x 4 = 1 implicitamente:

d y d x x 3 + y 3 x 2 + y 2 + x 2 y d y d x + 2 y + 2 x d y d x + d y d x + 4 x 3 = 0

x 3 d y d x + 3 x 2 y + y 2 + 2 x y d y d x + 2 y + 2 x d y d x + d y d x + 4 x 3 = 0

Agora isolamos o d y d x :

d y d x x 3 + 2 x y + 2 x + 1 + 3 x 2 y + y 2 + 2 x + 4 x 3 = 0

d y d x = 3 x 2 y + y 2 + 2 x + 4 x 3 x 3 + 2 x y + 2 x + 1

Substituindo o ponto 1 , - 4 :

d y d x = 3 1 2 - 4 + - 4 2 + 2 1 + 4 1 3 1 3 + 2 1 4 + 2 1 + 1

d y d x = 5 6

Então já temos o a da equação da reta:

a = 5 6

Passo 3

A equação da reta fica:

y = 5 6 x + b

Pra achar o b usamos o ponto 1 , - 4 , agora nessa equação:

- 4 = 5 6 1 + b

b = - 29 6

Então a equação da reta tangente será:

y = 5 6 x - 29 6

Resposta

y = 5 6 x - 29 6

Exercícios de Livros Relacionados

Quantas retas tangentes à curva y = x / ( x + 1 ) passam pelo ponto ( 1 ,2 ) ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?
Se G x = 4 x 2 - x 3 , encontre G ' ( a ) e use-o para encontrar equações das retas tangentes à curva y = 4 x 2 - x 3 nos pontos ( 2 ,8 ) e ( 3,9 ) .Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tan
Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2 1 + e - x no ponto 0,1 .Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.
Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = 0 ,f ' 0 = 3,f ' 1 = 0ef ' 2 = - 1