Em qual ponto do gráfico da função y   =   [ l n   ( x   +   4 ) ] 2   a reta tangente é horizontal?

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão pede para a gente determinar em qual ponto do gráfico da função y(x) a reta tangente à curva é horizontal. Ou seja, estamos procurando por um ponto de extremo da função, onde localmente ela não decresce nem cresce, pois sua taxa de variação é nula nesse ponto. Isso equivale a dizer que a derivada da função é zero! Então, o primeiro passo para determinar o ponto é calcular a função derivada de y(x) que, a cada ponto da curva, vai nos dar uma função que representa a inclinação da reta tangente naquele ponto. Bem… como a gente pode calcular a derivada dessa função? Utilizando a regra da cadeia! Se você olhar bem a nossa y(x), vai perceber que ela nada mais é do que a composição de 3 funções: h ( x )   =   x 2 , g ( x )   =   l n ( x ) e f ( x )   =   x   +   4 . Então, para derivar a função y ( x )   =   h ( g ( f ( x ) ) ) em relação a x, fazemos

d d x y ( x )   =   d d g h ( g ( f ( x ) ) ) × d d f g ( f ( x ) ) × d d x f ( x )

Então, a gente tem

d d x y ( x )   =   2 × l n ( x   +   4 ) × 1 x + 4 × 1 =   2   l n ( x + 4 ) x + 4

Passo 2

Agora que já temos a função derivada, tudo que precisamos fazer é igualá-la à zero para determinar qual é o valor de x para o qual a reta tangente é paralela ao eixo x. Assim, temos

2   l n ( x + 4 ) x + 4   =   0

Como a função logarítmica só é nula quando seu argumento é igual à 1, temos que x + 4 = 1 , e portanto, x = - 3 . Então, o ponto onde a reta tangente é paralela ao eixo x, possui abscissa igual à -3. Agora ficou mole determinar o ponto! É só substituir x = -3 na nossa função y(x). Fazendo isso, obtemos que quando x=-3, y ( - 3 )   = [ l n ( - 3 + 4 ) ] 2   = [ l n ( 1 ) ] 2   =   0 . Dá só uma olhada no gráfico da função!

Resposta

( x , y )   =   ( - 3,0 )

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