Prove que as retas tangentes a uma elipse ou uma hipérbole interceptam esses conjunto apenas uma vez.

Passo 1

Olá meu caro amigo, me chamo Yuri e hoje irei lhe ajudar nessa questão. E para isso iremos abordar separadamente cada situação.

Vamos abordar a prova separadamente para elipses e hipérboles.

Retas Tangentes a uma Elipse:

Considere uma elipse com focos ( F 1 ) e   ( F 2 ) e um ponto ( P ) sobre ela. Queremos mostrar que existe apenas uma reta tangente a essa elipse passando pelo ponto ( P ) .

A propriedade fundamental das elipses é que a soma das distâncias de qualquer ponto ( P ) nos eixos principais até os dois focos ( F 1 ) e   ( F 2 ) é constante e igual ao comprimento do eixo maior da elipse.

Agora, suponha que tenhamos duas retas tangentes diferentes a partir do ponto ( P ) . Cada uma dessas retas toca a elipse em um ponto. Considere os segmentos de linha de ( F 1 ) e   ( F 2 ) para esses pontos de tangência. Pela propriedade acima, a soma das distâncias de cada um desses pontos aos focos ( F 1 ) e   ( F 2 ) é a mesma constante (comprimento do eixo maior da elipse).

No entanto, isso levaria a um contraditório, pois teríamos dois pontos distintos (os pontos de tangência) com a mesma soma de distâncias aos focos, o que não é possível.

Portanto, chegamos à conclusão de que existe apenas uma reta tangente que passa pelo ponto ( P ) na elipse.

Passo 2

Retas Tangentes a uma Hipérbole:

Semelhantemente, considere uma hipérbole com focos ( F 1 ) e   ( F 2 ) e um ponto ( P ) sobre ela. Queremos mostrar que existe apenas uma reta tangente a essa hipérbole passando pelo ponto ( P ) .

A propriedade fundamental das hipérboles é que a diferença das distâncias de qualquer ponto ( P ) nos eixos principais até os dois focos ( F 1 ) e   ( F 2 ) é constante.

Suponha que tenhamos duas retas tangentes diferentes a partir do ponto ( P ) , cada uma tocando a hipérbole em um ponto. Considere novamente os segmentos de linha de ( F 1 ) e   ( F 2 ) para esses pontos de tangência. Pela propriedade acima, a diferença das distâncias de cada um desses pontos aos focos ( F 1 ) e   ( F 2 ) é a mesma constante.

Isso levaria a um contraditório, pois teríamos dois pontos distintos (os pontos de tangência) com a mesma diferença de distâncias aos focos, o que não é possível.

Portanto, chegamos à conclusão de que existe apenas uma reta tangente que passa pelo ponto ( P )   na hipérbole.

Em ambos os casos, a propriedade geométrica fundamental das curvas (soma constante de distâncias para elipses e diferença constante de distâncias para hipérboles) garante que uma reta tangente intersecta essas curvas apenas uma vez.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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