Quantas retas tangentes ao gráfico y = x 3 + 3 x   são paralelas à reta y = 6 x + 1 ? Determine as equações dessas retas tangentes.

Passo 1

Sabemos que retas paralelas têm coeficientes angulares iguais! E você também vai precisar se lembrar aqui do seguinte: a derivada de uma reta representa o seu coeficiente angular. Então o que nós vamos fazer aqui é calcular a derivada da função f ' ( x ) e igualar essa derivada ao coeficiente angular da reta y = 6 x + 1

Primeiro vamos determinar a expressão geral da derivada de x 3 + 3 x

f ' x = 3 x 2 + 3

E igualar ao coeficiente angular da reta y = 6 x + 1 , que é 6

3 x 2 + 3 = 6

3 x 2 - 3 = 0

3 x 2 - 1 = 0

x 2 - 1 = 0

E resolvendo isso, encontramos os pontos em que a reta tangente à curva tem coeficiente angular 6, ou seja, é paralela a y = 6 x + 1 . Esses são:

x = ± 1

Passo 2

Como encontramos dois valores de x significa que teremos duas retas. Vamos começar pela reta tangente a x 3 + 3 x e paralela a 6 x + 1 em x = 1 . Nesse ponto a função assume o valor:

f 1 = 1 3 + 3.1 = 4

E sua derivada é

f ' 1 = 3.1 2 + 3 = 6

A reta tangente fica assim:

f 1 = f ' 1 . 1 + b

Daí substituindo o ponto de tangência ( 1,4 ) :

4 = 6.1 + b

b = - 2

Portanto a equação da reta é

y = 6 x - 2

Passo 3

Agora a reta no ponto x = - 1

f - 1 = - 1 3 + 3 - 1 = - 4

f ' - 1 = 3 - 1 2 + 3 = 6

Achando b :

- 4 = 6 - 1 + b

b = 2

Portanto,

y = 6 x + 2

Resposta

y = 6 x + 2

y = 6 x - 2

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