Refaça a Q10 de matemática da 2a fase do vestibular Unicamp 2021.

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x = x 3 - 2 x + 1 e diz que a tangente dessa função no ponto a , f a é definida pela equação y = m x + f a - m a , onde m = 3 a 2 - 2 .

Sabendo disso, a letra a) nos pede para encontrar os pontos do gráfico de y   =   f ( x ) cuja reta tangente é paralela à reta definida por x   -   y   =   0 .

Para isso, precisamos determinar os valores de x que tornam a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente igual à inclinação da reta x   -   y   =   0 .

E aí? Bora lá??!!

😉

Passo 2

Assim, a inclinação da reta x   -   y   =   0 pode ser determinada comparando-a com a forma geral da equação de uma reta:

  y   =   m x   +   b

Onde m é o coeficiente angular.

Nesse caso, temos que coeficiente angular m de x - y = 0 é dado por:

x - y = 0 ∴ y = x

Ou seja, vemos que m = 1 .

Passo 3

Lá do enunciado, sabemos que a equação da reta tangente ao gráfico de y   =   f ( x ) no ponto ( a ,   f ( a ) ) é dada por y   =   m x   +   f ( a )   -   m a , onde m   =   3 a 2   -   2 .

Portanto, para que a reta tangente seja paralela à reta x   -   y   =   0 , precisamos que o coeficiente angular da reta tangente, seja igual a 1 . Dessa forma, temos:

  3 a 2   -   2 = 1 ∴

3 a 2 = 3 ∴

a = ± 1

Portanto, os pontos do gráfico de y   =   f ( x ) cuja reta tangente é paralela à reta x - y = 0 são os pontos onde x = 1 e x = - 1 .

Passo 4

Agora, podemos encontrar as coordenadas y correspondentes substituindo esses valores de x na função f ( x ) = x 3 - 2 x + 1 :

Para x   =   1 :

f 1 =   1 3 -   2 1 +   1 ∴

f 1 =   1   -   2   +   1 ∴

f 1 =   0

Logo, temos que o ponto aqui é 0,1 .

Para x   =   - 1 :

f - 1 =   - 1 3 -   2 - 1 +   1 ∴

f - 1 =   - 1 + 2   +   1 ∴

f - 1 =   2

Ou seja, o ponto aqui é 2 , - 1 .

Portanto, os pontos do gráfico de y   =   f ( x ) cuja reta tangente é paralela à reta x   -   y   =   0 são ( 1 ,   0 ) e ( - 1 ,   2 ) .

Agora vamos para a letra b)!!

Passo 5

Sabendo que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de y   =   f ( x ) no ponto ( a ,   f ( a ) ) é 10 , podemos usar a equação da reta tangente para determinar os pontos de interseção com o gráfico de y   =   f ( x ) .

Lembrando que a equação da reta tangente ao gráfico de y   =   f ( x ) no ponto ( a ,   f ( a ) ) é dada por:

y   =   m x   +   f ( a )   –   m a

Onde m é o coeficiente angular da reta tangente.

Portanto, temos a seguinte equação para a reta tangente:

y   =   10 x   +   f ( a )   -   10 a

Passo 6

Para encontrar os pontos de interseção, precisamos igualar essa equação à função

f ( x )   =   f ( a )   =   a 3   -   2 a   +   1

E resolver para x .

Assim, igualando as equações, temos:

10 x   +   f a -   10 a   =   a 3 -   2 a   +   1 ∴

10 x = a 3 + 8 a + 1 - f a

Substituindo novamente f a , temos:

10 x = a 3 + 8 a + 1 - a 3   -   2 a   +   1 ∴

10 x = 8 a ∴

x = 0,8 a

Portanto, temos a relação   x   =   0.8 a   entre os pontos de interseção da reta tangente com o gráfico de y   =   f ( x ) .

Passo 7

Para encontrar os pontos de interseção, podemos substituir essa relação em uma das equações e resolver para x   e   y .

Substituindo x   =   0.8 a na equação da reta tangente, temos:

y   =   10 ( 0.8 a )   +   f ( a )   -   10 a

Simplificando, temos:

y   =   8 a   +   f a -   10 a ∴

y =   - 2 a   +   f ( a )

Portanto, os pontos de interseção são dados por:

( x ,   y )   =   ( 0.8 a ,   - 2 a   +   f ( a ) )

Lembrando que a   >   0 , podemos substituir diferentes valores de a para obter os pontos de interseção correspondentes.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

  1. ( 1 ,   0 ) e ( - 1 ,   2 )
  2. ( x ,   y )   =   ( 0.8 a ,   - 2 a   +   f ( a ) )

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