Resolva as seguintes questões:

  1. Dada g t = t sec ⁡ t , calcule a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto π 4 ,   g π 4

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema da essa função aqui

g t = t sec ⁡ t

E pede para calcularmos a equação da reta tangente nesse ponto

π 4 ,   g π 4

Você lembra de como se faz isso?

Uma equação de reta é descrita assim

y - y 0 = m x - x 0

Aqui temos que ( x 0 , y 0 ) é o ponto de tangência que queremos saber a reta! E esse ponto foi dado!

E a pergunta de milhões: quem é aquele m ? É o coeficiente angular da reta!

E para nós esse coeficiente tem outro significado: é o valor da derivada da função aplicada no ponto dado!

E é isso! Precisamos encontrar o coeficiente angular e o ponto, e jogar na equação da reta!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é

g t = t sec ⁡ t

Temos um produto de duas funções: t e sec ⁡ t , sendo assim, para derivar vamos usar a regra do produto:

g t = f t h t

g ' t = f ' t h t + h ' ( t ) f ( t )

Aí temos

f t = t → f ' t = 1

h t = sec ⁡ t → h ' t = sec ⁡ t tan ⁡ t

beleza?

agora basta substituir na regra do produto

g ' t = 1 . sec ⁡ t + t . sec ⁡ t tan ⁡ t

g ' t = sec ⁡ t ( 1 + t tan ⁡ t )

E aplicando em t = π 4

g ' π 4 = sec ⁡ π 4 1 + π 4 tan ⁡ π 4 = 2 2   1 + π 4  

g ' π 4 = 2 2   1 + π 4 . 2 2 = 2 1 + π 4

E está aí nosso coeficiente angular da reta!

m = 2 1 + π 4

Beleza? Bora substituir na equação da reta?

Passo 3

A equação da reta tangente é

y - y 0 = m x - x 0

Nosso ponto é

x 0 , y 0 =   π 4 ,   g π 4

Precisamos determinar y 0 ainda. Nossa função é

g t = t sec ⁡ t

Então g π 4 :

g π 4 = π 4 sec ⁡ π 4 = π 4 . 2 2 = π 2 2

Racionalizando temos

y 0 = g π 4 = π 2 2 .   2 2 = π 2 4

Tranquilo?

Passo 4

Recapitulando...

Nosso ponto

x 0 , y 0 = π 4 ,   π 2 4

E o coeficiente angular da reta

m = 2 1 + π 4

É só usar a equação da reta tangente!

y - y 0 = m x - x 0

y - π 2 4 = 2 1 + π 4 x - π 4

E é isso! Essa é nossa equação da reta tangente!

Espero ter ajudado!

Resposta

y - π 2 4 = 2 1 + π 4 x - π 4

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