A reta normal ao gráfico de uma função em um ponto P é definida como a reta que passa por P e é perpendicular à reta tangente ao gráfico da função em P . Ache uma equação da reta normal ao gráfico de f ( x ) = 1 - x 2 no ponto de abscissa x 0 = 2 .

Passo 1

Eaew, tudo bem com você?

O enunciado nos dá uma definição de reta normal ao gráfico de uma função em um ponto P , como a reta perpendicular a reta tangente que passa neste mesmo ponto. E, definindo a função como

f ( x ) = 1 - x 2

pede para que encontremos a reta normal no ponto de abscissa x 0 = 2 . Beleza! Como fazemos isso? Vamos utilizar a própria definição dada pelo enunciado, vamos obter a reta tangente e procurar uma reta que seja perpendicular a ela! Certinho? Vamos lá!

Passo 2

Temos que a reta tangente tem a seguinte equação

y - y 0 = m ( x - x 0 )

em que P = ( x 0 , y 0 ) é o ponto em que vamos calcular a nossa reta tangente. Tendo em vista que estamos calculando m para a reta tangente no ponto P , a reta normal relacionada é dada por

y - y 0 = - 1 m   ( x - x 0 )

em que

m = l i m h → 0 f ( x 0 + h ) - f ( x 0 ) h

Note que podemos usar a definição acima para calcular m , ou você pode usar regras mais avançadas de derivação, no entanto, como esta lista de exercícios está trabalhando com os conceitos mais básicos de derivação, vamos aplicar a definição acima, belezinha? Bora lá!

Passo 3

Usando que f ( x 0 + h ) = f ( 2 + h ) , obtemos que

m = l i m h → 0 1 - ( 2 + h ) 2 - ( 1 - 2 2 ) h = l i m h → 0 1 - ( 4 + 4 h + h 2 ) - 1 + 4 h

Ou, simplificando, temos que

m = l i m h → 0 - 4 h - h 2 h = l i m h → 0 - 4 - h

Se avaliarmos o limite acima em h = 0 , temos que

m = - 4

e, a reta normal tem o seguinte formato

y - y 0 = - 1 m   ( x - x 0 ) = 1 4 ( x - 2 )

Falta agora apenas terminar alguns detalhes! Vamo que vamo!

Passo 4

Usando que o nosso ponto é P = ( x 0 , y 0 ) e que y 0 = f ( 2 ) , temos que

y 0 = 1 - 2 2 = - 3

A nossa reta normal se torna então

y - ( - 3 ) = 1 4 ( x - 2 )

Ou simplesmente

y + 3 = 1 4 ( x - 2 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

y + 3 = 1 4 ( x - 2 )

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