Seja:

f x = ln ⁡ - 3 x - x 2

Calcule a derivada de f .

Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em - 1 , ln ⁡ 2 .

Passo 1

Para derivar, usamos a regra da cadeia. Derivamos o ln normalmente preservando o argumento e depois multiplicamos pela derivada do argumento:

f ' x = 1 - 3 x - x 2 - 3 x - x 2 ' = - 3 - 2 x - 3 x - x 2 = 2 x + 3 x 2 + 3 x

Passo 2

A reta tangente no ponto ( - 1 ,   ln ⁡ 2 ) passa pelo ponto e tem a mesma inclinação da reta no ponto. Ou seja:

y - y 0 = f ' x 0 x - x 0

Sendo x 0 , y 0 = - 1 ,     ln ⁡ 2 :

y - ln ⁡ 2 = f ' x 0 x + 1

E:

f ' x 0 = f ' - 1 = 3 - 2 1 - 3 = - 1 2

Resultando em:

y = - 1 2 x + 1 + ln ⁡ 2

Resposta

f ' x = 2 x + 3 x 2 + 3 x

y = - 1 2 x + 1 + ln ⁡ 2

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