Seja c ∈ R . Considere a função f tal que

f ' x = 2 x x + x 2 + c x

Sabendo que ( 1 ,   1 ) é um ponto de inflexão do gráfico de f , faça o que se pede:

a) Determine f ' ' x e o valor da constante c .

b) Determine f ( x ) .

c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f em x = 1

Passo 1

Usando a racionalização, podemos reescrever f ' ( x ) da seguinte maneira:

f ' x = 2 x x + x 2 + c x

f ' x = 2 x . x x . x + x 2 + c x

f ' x = 2 x . x x + x 2 + c x

Cortando o x do numerador com o denominador, temos:

f ' x = 2 x + x 2 + c x

Passo 2

Sabemos que a segunda derivada da função é a derivada de f ' ( x ) , certo?:

f ' x = 2 x + x 2 + c x

f ' ' x = ( f ' x ) ' = ( 2 x + x 2 + c x ) '

Então vamos derivar f ' ( x ) para encontrarmos f ' ' ( x ) :P

f ' ' x = 2 x + x 2 + c x ' = 2 x ' + x 2 ' + ( c x ) '

f ' ' x = 2 . x - 1 2 2 + 2 x + c

f ' ' x = x - 1 2 + 2 x + c

Então a nossa segunda derivada é

f ' ' x = 1 x + 2 x + c

Passo 3

Para encontrarmos o valor da constante c , vamos usar a informação de que o ponto de inflexão da função é ( 1 ,   1 ) . Bom, sabemos que o ponto de inflexão é o ponto onde a segunda derivada muda de sinal, seja de + pra ou de pra + .

O que importa, é que nesse ponto de inflexão, a segunda derivada vale 0 , ou seja, f ' ' 1 = 0 :

f ' ' x = 1 x + 2 x + c

f ' ' 1 = 1 1 + 2.1 + c = 0

1 + 2 + c = 0

c = - 3

Logo, substituindo o valor de c em f ' ' ( x ) :

f ' ' x = 1 x + 2 x - 3

Passo 4

b) Você lembra que a integral de uma função é aquela função antes de derivarmos?

Derivar Derivar

f ( x ) f ' ( x ) f ' ' ( x )

Integrar Integrar

Antes de f ' ( x ) ter sido derivado, ele era o f ( x ) . Então o que vamos fazer para encontrarmos f ( x ) ???

Isso mesmo!! Integrar a sua derivada f ' ( x ) hahahaha

f ' x = 2 x + x 2 + c x

f x = ∫ f ' ( x )   d x

f x = ∫ 2 x + x 2 + c x     d x

Do item anterior, temos que c = - 3

f x = ∫ 2 x + x 2 - 3 x     d x

Podemos separar em 3 integrais:

f x = 2 ∫ x   d x + ∫ x ²   d x - ∫ 3 x   d x

Resolvendo as integrais, temos:

f x = 2 x 3 2 . 2 3 + x 3 3 - 3 x 2 2 + K

f x = 4 x 3 2 3 + x 3 3 - 3 x 2 2 + K

Onde K é a soma das constantes das 3 integrais.

Passo 5

Como ( 1 ,   1 ) é ponto de inflexão da função, ele está no nosso gráfico, então podemos substituir em f ( x ) para encontrarmos K

f x = 4 x 3 2 3 + x 3 3 - 3 x 2 2 + K

f 1 = 1

f 1 = 4 . 1 3 2 3 + 1 3 3 - 3 . 1 2 2 + K = 1

4 3 + 1 3 - 3 2 + K = 1

K + 1 6 = 1

K = 5 6

Então

f x = 4 x 3 2 3 + x 3 3 - 3 x 2 2 + 5 6

Passo 6

c) A equação de uma reta tangente a um gráfico tem esse formato olha:

y = f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Onde x 0 é a abscissa do ponto de tangência que queremos.

Nosso ponto de tangência ( x 0 ,   y 0 ) , a pedido do enunciado, é ( 1 ,   1 ) .

Tendo que f ' x = 2 x + x 2 - 3 x , sabemos que nosso coeficiente angular da reta, ou seja, a derivada no ponto de tangência ( 1 ,   1 ) , vai ser

f ' ( x 0 ) = 2 x 0 + x   0 2 - 3 x 0

f ' ( 1 ) = 2 1 + 1 ² - 3 . 1

f ' 1 = 0

O que faz sentido, pois o ponto ( 1 ,   1 ) é ponto de inflexão e a derivada nesses pontos vale 0.

Passo 7

Então vamos construir nossa reta tangente:

y = f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

y = 1 + 0 . ( x - 1 )

Logo, nossa reta tangente tem a equação

y = 1

Abaixo temos em vermelho o gráfico de f ( x ) , em azul a reta tangente y = 1 e em verde o ponto ( 1 ,   1 )

Resposta

a) f ' ' x = 1 x + 2 x - 3

b) f x = 4 x 3 2 3 + x 3 3 - 3 x 2 2 + 5 6

c) y = 1

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