1.7. Seja f x , y = 2 x 2 + 4 y 2 x 2 + y 2 + 1 .

c. Determine o vetor tangente à curva γ , que você encontrou no item anterior, no ponto - 1,0 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

No item anterior, encontramos o vetor paramétrico da curva de nível de f no nível c = 1 como

γ t = sen ⁡ t , 1 3 cos ⁡ t ,     t ∈ 0,2 π

Dessa forma, queremos obter o vetor tangente a essa curva no ponto - 1,0 .

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 👀

Para encontrar o vetor tangente, temos que aplicar os seguintes passos:

Primeiro temos que derivar γ t para obter γ ' t .

Depois temos que obter o valor de t no qual γ t = - 1,0 e chamá-lo de t 0 .

E por último substituir t 0 em γ ' t para obter o vetor tangente

Bacana, não é? 😁

Passo 2

Derivando γ t

γ ' t = d sen ⁡ t d t , d 1 3 cos ⁡ t d t

γ ' t = d sen ⁡ t d t , 1 3 d cos ⁡ t d t

γ ' t = cos ⁡ t , - 1 3 sen ⁡ t

Obtendo t 0 ...

γ t 0 = sen ⁡ t 0 , 1 3 cos ⁡ t 0 = - 1,0

sen ⁡ t 0 = - 1 ,   1 3 cos ⁡ t 0 = 0

t 0 = - π 2

E finalmente, substituindo t 0 em γ ' t

γ ' - π 2 = cos ⁡ - π 2 , - 1 3 sen ⁡ - π 2

γ ' - π 2 = 0 , - 1 3 - 1

γ ' - π 2 = 0 , 1 3

Portanto, o vetor tangente de γ t é dado por

γ ' - π 2 = 0 , 1 3

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

γ ' - π 2 = 0 , 1 3

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