Seja g x = x 2 + 1 x . Determine o ponto do gráfico de f em que a reta tangente, nesse ponto seja paralela ao eixo x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o ponto do gráfico da função g x = x 2 + 1 x que tem uma reta tangente.

Bom, nós sabemos que o coeficiente angular m de uma reta é igual a derivada da função:

m = f ' ( x )

Assim, para que a reta seja paralela ao eixo x , o coeficiente angular da reta deve ser igual a zero, ou seja, a derivada da função no ponto deve ser igual a zero.

Então, para encontrar o ponto que queremos, precisamos derivar a nossa função e igual seu resultado a zero. Assim, obteremos o valor da coordenada x do ponto. Depois basta substituir o valor de x encontrado em g ( x ) e obter a coordenada y do ponto ( x ,   y ) .

Vamos lá!

Passo 2

Derivando a função g x = x 2 + 1 x , vamos ter:

g ' x = x 2 ' + 1 x '

A nossa função é um polinômio, então podemos usar a regra da potência para derivar ( x n ' = n x n - 1 ). Assim, temos:

g ' x = 2 ∙ x 2 - 1 + - 1 ∙ x - 1 - 1

g ' x = 2 x - x - 2

g ' x = 2 x - 1 x 2

Passo 3

Igualando esse resultado a zero, vamos ter:

2 x - 1 x 2 = 0

2 x = 1 x 2

Multiplicando os dois lados por x 2 :

x 3 = 1 2

Tirando a raiz cúbica dos dois lados:

x = 1 2 3 = 1 2 3

x = 4 3 2

Substituindo x = 4 3 2 em g x = x 2 + 1 x , teremos a coordenada y do ponto:

g 4 3 2 = y = 4 3 2 2 + 1 4 3 2

y = 3 2 3 2

Então, nosso ponto será 4 3 2 , 3 2 3 2   .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

4 3 2 , 3 2 3 2  

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Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )
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