Seja y = f ( x ) uma função definida pela equação

x 2 cos ⁡ y + x 2 sin ⁡ y - 2 x + 1 = 0 .

(a) Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico da curva no ponto ( 1 ,   π / 2 ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a reta tangente ao gráfico da curva x 2 cos ⁡ y + x 2 sin ⁡ y - 2 x + 1 = 0 no ponto ( 1 ,   π / 2 ) .

Pra isso, vamos precisar derivar implicitamente a função e aplicar o ponto x = 1 e y = π 2 na equação que encontrarmos. Lembrando que pra derivar implicitamente a gente deriva normalmente em relação a x , usando as regras de derivação convencionais. Mas nos termos onde o y aparece, consideramos que ele é uma função de x ( y ( x ) ) e acrescentamos o termo y ' (que representa a derivada de y em relação a x ).

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando x 2 cos ⁡ y + x 2 sin ⁡ y - 2 x + 1 = 0 :

d d x x 2 cos ⁡ y + x 2 sin ⁡ y - 2 x + 1 = d d x ( 0 )

No lado direito, como temos uma constante, o valor da derivada também será nulo. No lado esquerdo, vamos separar as derivadas de cada termo da soma:

d d x x 2 cos ⁡ y + d d x x 2 sin ⁡ y - d d x 2 x + d d x ( 1 ) = 0

Derivando cada termo como uma função de x , vamos ter:

2 x cos ⁡ y - x 2 sin ⁡ y y ' + 2 x sin ⁡ y + x 2 y ' cos ⁡ y - 2 = 0

Repare que nos termos x 2 cos ⁡ y   e x 2 sin ⁡ y a gente aplica a regra do produto na derivação, beleza? Agora substituindo x = 1 e y = π 2 na equação, temos:

2 ( 1 ) cos ⁡ π 2 - 1 2 sin ⁡ π 2 y ' + 2 ( 1 ) sin ⁡ π 2 + 1 2 cos ⁡ π 2 y ' - 2 = 0

0 - y ' + 2 + 0 - 2 = 0

Isolando y ' :

y ' = 0

Tá, mas esse é o coeficiente angular da reta e a gente quer saber a equação dessa reta tangente.

Passo 3

Pra encontrar a equação da reta, vamos usar:

y - y 0 = m x - x 0

Onde ( x 0 ,   y 0 ) é o nosso ponto 1 , π 2 e m é o coeficiente angular da reta, que encontramos no passo anterior. Substituindo, temos:

y - π 2 = 0 ∙ ( x - 1 )

y = π 2

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

y = π 2

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