Seja y = f ( x ) uma função definida pela equação

x 2 cos ⁡ y + x 2 sin ⁡ y - 2 x + 1 = 0 .

(b) Existem pontos dessa curva onde a reta tangente é vertical? Justifique.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar se existem pontos dessa curva onde a reta tangente é vertical.

Como uma linha vertical tem inclinação infinita, e a derivada da função representa essa inclinação, escrevendo a y ' = b , quando a = 0 , y ' = ± ∞ . Isso significa que a reta tangente será vertical.

No item (a), nós calculamos essa reta tangente derivando a equação da curva implicitamente e obtivemos 2 x cos ⁡ y + sin ⁡ y + x 2 - sin ⁡ y + cos ⁡ y y ' - 2 = 0 . Sendo assim, pra que essa reta seja vertical, teremos:

x 2 - sin ⁡ y + cos ⁡ y = 0

Esse produto é verdadeiro se x = 0 ou - sin ⁡ y + cos ⁡ y = 0 . Mas x = 0 , não corresponde a nenhum ponto da nossa curva y = f ( x ) , porque se a gente substituísse, obteríamos 1 = 0 (o que não faz sentido, né?). Sendo assim, vamos ter apenas - sin ⁡ y + cos ⁡ y = 0 como condição.

Usando essa relação, conseguimos encontrar valores de x e y que definem nossa reta vertical.

Vamos lá!

Passo 2

Partindo de - sin ⁡ y + cos ⁡ y = 0 , temos:

sin ⁡ y = cos ⁡ y = ± 2 2

Substituindo esse valor na equação da curva, vamos ter:

x 2 ± 2 2 + x 2 ± 2 2 - 2 x + 1 = 0

2 x 2 ± 2 2 - 2 x + 1 = 0

E chegamos na equação do segundo grau:

± 2 x 2 - 2 x + 1 = 0

Repare que na verdade são duas equações, uma positiva 2 x 2 - 2 x + 1 = 0 e uma negativa - 2 x 2 - 2 x + 1 = 0 . Mas na equação positiva, teremos Δ < 0 e, portanto, nossas raízes serão complexas. Então, vamos nos ater aos valores reais de x que são solução da equação negativa - 2 x 2 - 2 x + 1 = 0 .

Usando Bháskara, encontramos:

x = - 2 ± 4 + 4 2 2 2

E os y tais que sin ⁡ y = cos ⁡ y = - 2 2 são:

y = - 3 π 2 + 2 k π

Com k ∈ Z .

Então, existem pontos dessa curva onde a reta tangente é vertical.

Prontinho, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

E x i s t e m !

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