5) Seja c número real tal que no ponto de interseção dos gráficos y = 7 x 2 - 18 x + c e y = 1 4 ln ⁡ x as respectivas retas tangentes sejam perpendiculares.

O valor de c é

Escolha uma:

A. 11

B. 15

C. 13

D. 14

E. 12

Passo 1

Faaala pessoal! Como vocês estão? Com certeza estudando muito, né? Então bora pra mais uma questão!

Preparados para um exercício bem conceitual? Com certeza você já percebeu que esse enunciado tem um detalhe que fará toda a diferença no nosso exercício. Isso mesmo! As duas retas tangentes são perpendiculares.

As retas serem perpendiculares nos diz o seguinte:

Quando derivamos uma função em um determinado ponto, encontramos o coeficiente angular naquele ponto (a inclinação da reta). Vamos chamar esse coeficiente de m .

E quando multiplicamos os coeficientes angulares de duas retas paralelas, o resultado é - 1 . Ou seja:

m 1 * m 2 = - 1

Passo 2

Além disso, como esse ponto do coeficiente angular é uma interseção, sabemos que o ponto é o mesmo para as duas funções.

Caramba, mas o que faremos com todas essas teorias?

Esse é o pulo do gato:

7 x 2 - 18 x + c ' * 1 4 ln ⁡ x ' = - 1

Pois é, a derivada de cada uma das funções nos dará o coeficiente angular. E o produto entre eles é - 1 .

Então vamos calcular?

Passo 3

Calculando:

14 x - 18 * 1 4 * 1 x = - 1

14 x - 18 * 1 4 x = - 1

Simplificando:

14 x - 18 = - 4 x

18 x = 18

x = 1

Então, quando o x = 1 , as funções têm retas tangentes perpendiculares!

Passo 4

Se colocarmos x = 1 em y = 1 4 ln ⁡ x saberemos qual é o ponto onde as retas tangentes são perpendiculares. Por enquanto só sabemos a coordenada x .

Você deve estar se perguntando o porquê de não utilizarmos a outra equação. A resposta é simples! Como esse ponto é uma interseção, tanto faz usarmos uma função ou outra. Usaremos essa por ser mais simples. Então:

y = 1 4 ln ⁡ 1

y = 1 4 * 0

y = 0

Legal! O ponto ( 1 ,   0 ) é interseção das duas funções e as retas tangentes são perpendiculares.

Passo 5

Como sabemos quem é x e y , podemos descobrir c :

y = 7 x 2 - 18 x + c

0 = 7 1 2 - 18 1 + c

0 = 7 - 18 + c

Portanto:

c = 11

Pra essa questão é isso pessoal! Bora pra mais uma?

Resposta

A. 11

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