Enunciado

Sejam I   ⊂   R um intervalo aberto e f   :   I   →   R uma função. Dado a   ∈   I , a reta tangente ao gráfico de f   no ponto ( a ,   f ( a ) )   é a (única) reta que passa pelo ponto a ,   f a e tem inclinação igual a

f   '   ( a )   = lim x → a ⁡   f ( x )   -   f ( a ) x   -   a   ,

Passo 2

Passo 3

Passo 4

Passo 5

Fala pessoal, tudo tranquilo? Vamo pra cima dessa questão!!

Seguinte, a primeira metade da nossa questão pede para determinarmos a inclinação das nossas respectivas funções aplicadas em pontos específicos. Dessa forma, o que precisamos fazer é achar o nosso f ’ ( a ) com a ajuda da expressão formal de derivadas com limites:

f   '   ( a )   = lim x → a ⁡   f ( x )   -   f ( a ) x   -   a

Vamos por etapas:

Letra a:

f   '   ( 2 )   = lim x → 2 ⁡   f ( x )   -   f ( 2 ) x   -   2 =   lim x → 2 ⁡ x   ²   -   2 ² x   -   2 =   lim x → 2 ⁡ ( x   +   2 ) ( x     -   2 ) x   -   2 = lim x → 2 ⁡ ( x + 2 ) = 2 + 2 = 4

Letra b:

f   '   ( 3 )   = lim x → 3 ⁡   f ( x )   -   f ( 3 ) x   -   3 =   lim x → 3     ⁡ 1 x -   1 3 x   -   3 =   lim x → 3 ⁡ 3 - x 3 x x   -   3 = lim x → 3 ⁡ - x - 3 x - 3 3 x = lim x → 3 ⁡ - x - 3 2 3 x = - 3 - 3 2 3 ²   = 0

Letra c:

f   '   ( a )   = lim x → a ⁡   f ( x )   -   f ( a ) x   -   a =   lim x → a ⁡ m x   +   b   - ( m a   + b ) x   -   a = lim x → a ⁡ m x   -   m a   +   b   -   b x   -   a = lim x → a ⁡ m ( x - a ) ( x   -   a ) = lim x → a ⁡ m = m

Passo 6

Beleeeza, agora na nossa segunda parte vamos calcular a reta tangente aos nossos respectivos f nos pontos ( a ,   f ( a ) ) . Para fazermos isso, é simples: podemos elaborar uma reta tangente no formato y   -   f ( a )   =   f   '   ( a ) ( x   -   a ) . Ou seja, reaproveitamos os resultados que encontramos no Passo 1.

Letra a:

Apliquemos a   =   2 na função f ( x )   =   x ² :

f 2 =   2 2 =   4  

Agora, observamos que a expressão f ’ ( 2 )   =   4 foi obtida no Passo 1, então só nos resta aplicar na fórmula:

y   -   f ( 2 )   =   f   '   ( 2 ) ( x   -   2 )  

y   -   4   =   4 ( x   -   2 )  

y   = 4 x - 4  

Agora é de boa, a receita do bolo é a mesma, vamos só mudar os detalhes referentes a cada função e ponto estudados nas letras.

Letra b:

Apliquemos a   =   3 na função f ( x )   =   1 x :

f 3 =   1 3

Sabemos que f ' ( 3 ) = 0 , então:

y   -   f ( 3 )   =   f   '   ( 3 ) ( x   -   3 )  

y   -   1 3   =   0 ( x   -   2 )  

y =   1 3

Letra c:

Apliquemos o a   genérico   na função f x =   m x + b :

f ( a )   =   m a   +   b

A gente também sabe que f ’ ( a )   =   m , então:

y   -   f a =   f   a x   -   a '

y   - ( m a + b )   =   m ( x   -   a )  

y   =   m x + b

Taí, encerramos nosso exercício =D

Resposta

a) f 2 ' = 4 ;   A reta tangente é     y   = 4 x - 4  

b) f 3 ' = 0 ; A reta tangente é y =   1 3

c) f a ' = m ; A reta tangente é y   =   m x + b

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