7.27. (Transferência Fuvest 2012) Seja f x = 1 x 2 + 3 . Então, o coeficiente angular máximo das retas tangentes ao gráfico de f é

a. 1 4 ;

b. 1 8 ;

c. 0 ;

d. - 1 8 ;

e. - 1 4 .

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos obter o coeficiente angular máximo das retas tangentes ao gráfico de f .

E aí, tem ideia do que fazer? 🤔

Se a função é dada por

f x = 1 x 2 + 3

Temos que lembrar que o coeficiente angular de uma reta tangente ao gráfico é obtido a partir da derivada de f .

Assim, derivando f podemos obter a equação que descreve todos os coeficientes angulares das retas tangentes de f .

Mas e como vamos obter o maior deles? 🤔

Passo 2

Para obter o maior deles, vamos derivar a função dos coeficientes e igualar a 0 .

Ou seja, no fim das contas, precisamos derivar f duas vezes e igualar a 0 , a solução da equação encontrada poderá ser substituída na função dos coeficientes e encontrar o maior valor.

Vamos começar!

Derivando f pela primeira vez, temos que pela regra do quociente...

f ' x = d 1 x 2 + 3 d x = - 2 x x 2 + 3 2

Essa é a função dos coeficientes angulares.

Derivando essa função mais uma vez

f ' ' x = d - 2 x x 2 + 3 2 d x

Novamente pela regra do quociente, vamos obter

f ' ' x = - 6 1 - x 2 x 2 + 3 3

Igualando f ' ' x a 0

- 6 1 - x 2 x 2 + 3 3 = 0

Logo, a única possibilidade dessa igualdade ser satisfeita é se

1 - x 2 = 0

x 2 = 1

x = ± 1

Tranquilo até aqui? 😁

Passo 3

Encontramos dois pontos para verificar em f ' x , primeiro x = 1 e segundo x = - 1

Para x = 1 , substituímos na função dos coeficientes f ' x

f ' 1 = - 2 1 1 2 + 3 2

f ' 1 = - 2 4 2

f ' 1 = - 1 8

Para x = - 1 vamos fazer a mesma coisa

f ' - 1 = - 2 - 1 - 1 2 + 3 2

f ' - 1 = 2 4 2

f ' - 1 = 1 8

Assim, entre as duas opções, vemos que 1 / 8 é o maior valor de coeficiente angular de reta tangente a f .

Para x tendendo a ± ∞ não precisamos calcular pois em f ' ' x o polinômio no denominador é de maior grau que o numerador, logo, para x → ± ∞ f ' ' tende a 0 .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

b. 1 8 ;

Exercícios de Livros Relacionados

Quantas retas tangentes à curva y = x / ( x + 1 ) passam pelo ponto ( 1 ,2 ) ? Em quais pontos essas retas tangentes tocam a curva?
Se G x = 4 x 2 - x 3 , encontre G ' ( a ) e use-o para encontrar equações das retas tangentes à curva y = 4 x 2 - x 3 nos pontos ( 2 ,8 ) e ( 3,9 ) .Ilustre a parte (a) traçando a curva e as retas tan
Encontre uma equação da reta tangente à curva y = 2 1 + e - x no ponto 0,1 .Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.
Encontre a equação da reta tangente à curva no ponto dado y = x - 1 x - 2,( 3,2 )
Esboce o gráfico de uma função f para a qual f 0 = 0 ,f ' 0 = 3,f ' 1 = 0ef ' 2 = - 1