Use a derivação implícita para encontrar uma equação da reta tangente à curva ln ⁡ x - y = 2 x - 3 y , no ponto ( 3,2 ) .

Passo 1

Faaaaala pessoal, como é que vocês estão?

Nessa questão precisamos determinar a equação de uma reta que seja tangente a curva:

ln ⁡ x - y = 2 x - 3 y

No ponto ( 3,2 ) .

Bom, equação de reta tangente tem tudo a ver com derivada. O problema é que essa curva dada é meio estranha, porque não dá pra isolar o y . É por isso que vamos precisar usar a derivação implícita.

Ao realizarmos a derivação implícita nosso objetivo será encontrar d y / d x , pois a equação da reta tangente deve ser dada por:

y = d y d x ⋅ x + b

Depois que encontrarmos d y / d x para encontrar b basta substituir o ponto de tangência ( 3,2 ) .

Eaí, vamo nessa?

Passo 2

Temos a curva:

ln ⁡ x - y = 2 x - 3 y

Para derivá-la implicitamente, podemos fazer:

d ln ⁡ x - y d x = d 2 x - 3 y d x

Vamos começar pelo lado esquerdo. Usando a regra da cadeia, e chamando x - y de u , o que precisamos fazer é:

d ln ⁡ x - y d x = d ln ⁡ u d u ⋅ d u d x

Bora calcular cada um desses termos separadamente:

d ln ⁡ u d u = 1 u = 1 x - y d u d x = d x - y d x

O primeiro termo já foi, já para o segundo termo precisamos usar que a derivada da subtração é a subtração das derivadas. Logo:

d x - y d x = d x d x - d y d x

= 1 - d y d x

Perfeito! Substituindo tudo na nossa expressão principal, temos:

d ln ⁡ x - y d x = 1 x - y ⋅ 1 - d y d x

Passo 3

Voltando para a derivada da nossa curva, temos:

d ln ⁡ x - y d x = d 2 x - 3 y d x

Já calculamos a derivada do lado esquerdo, vamos agora para o lado direito.

d 2 x - 3 y d x

Usando novamente que a derivada da subtração é a subtração das derivadas, vem:

d 2 x - 3 y d x = d 2 x d x - d 3 y d x

Tirando as constantes para fora, vem:

d 2 x d x - d 3 y d x = 2 d x d x - 3 ⋅ d y d x

d 2 x - 3 y d x = 2 - 3 d y d x

Excelente!

Juntando a derivada do lado esquerdo e do lado direito, ficamos com:

1 x - y ⋅ 1 - d y d x = 2 - 3 ⋅ d y d x

Vamos isolar d y / d x :

1 x - y - 2 = d y d x 1 x - y - 3

⇒ d y d x = 1 x - y - 2 1 x - y - 3

Aí sim! Estamos no caminho certo!

Passo 4

Encontramos que:

d y d x = 1 x - y - 2 1 x - y - 3

Pode parecer um pouco estranho pois isso significa que d y / d x depende dos valores de ( x , y ) . Mas, faz sentido já que nossa própria curva é um pouco diferente. Sendo assim, para encontrar d y / d x vamos usar o fato que queremos esse termo quando x , y = ( 3,2 ) . Logo:

d y d x = 1 3 - 2 - 2 1 3 - 2 - 3  

= 1 - 2 1 - 3

⇒ d y d x = 1 2

Ótimo!

Como vimos no passo 1 , a equação da reta é dada por:

y = d y d x ⋅ x + b

Logo:

y = 1 2 ⋅ x + b

Para descobrir o valor de b basta usar que ( 3,2 ) pertence a essa reta. Assim:

2 = 1 2 ⋅ 3 + b

∴ b = 2 - 3 2 = 1 2

Logo:

y = 1 2 ( x + 1 )

Essa é a equação da reta tangente pedida no enunciado 😊

Eaí, curtiu a solução? Responde Aí!

Resposta

y = 1 2 ( x + 1 )

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