39. Uma bola de boliche esférica de massa M e raio R é lançada com velocidade horizontal v = 5   m / s e não tem qualquer rotação. O coeficiente de atrito cinético entre a bola e a pista é µ c = 0,3 .

(a) Achar o tempo que a bola escorrega até atingir a condição de rolamento sem deslizamento.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema temos uma esfera de raio R e massa M que é lançada verticalmente com uma velocidade v 0 = 5   m / s sem rotacionar. Devido ao atrito cinético μ c = 0,3 entre a esfera e a superfície a esfera começa a rotacionar até se mover sem deslizar.

Com isso, queremos saber quanto tempo levou até que a esfera parasse de deslizar.

Tem ideia do que fazer? 👀

Podemos aplicar a segunda lei de Newton no eixo horizontal do problema, ou seja, os somatórios das forças que atuam na esfera são iguais a uma força resultante F

∑ F x = F

No eixo x , a única força que age sobre a esfera é a força de atrito que aponta para o lado oposto à força resultante

- f a t = F

A partir daí, podemos começar nosso problema. Bora lá! 😬

Passo 2

A partir da equação anterior podemos nos aprofundar um pouco mais

- f a t = F

- μ c N = M a c m

- μ c M g = M a c m

Simplificando e isolando a c m

a c m = - μ c g

O próximo passo é calcular a aceleração tangencial a partir da segunda lei de Newton para rotações

∑ τ = I α

O torque que é aplicado a esfera é devido à força de atrito... como τ = F R , então

f a t R = I α

Já vimos anteriormente que f a t = μ c M g e sabemos que o momento de inercia I da esfera é dada por

I = 2 M R 2 5

Substituindo essas informações na equação f a t R = I α

μ c M g   R = 2 M R 2 5 α

Simplificando e isolando α

μ c g = 2 R 5 α

α = 5 μ c g 2 R

Tranquilo até aqui? 😐

Passo 3

Para a equação do movimento circular acelerado, temos

ω = ω 0 + α t

ω = 0 + 5 μ c g 2 R t

ω = 5 μ c g 2 R t

Como ω = v R , podemos relacionar esse resultado com a velocidade linear v

v R = 5 μ c g 2 R t

v = 5 μ c g 2 t

Agora pela equação do movimento retilíneo acelerado, sabemos que a = - μ c g

v = v 0 + a t

5 μ c g 2 t = v 0 - μ c g t

Simplificando e isolando t , temos

5 μ c g 2 t + μ c g t = v 0

5 μ c g 2 + μ c g t = v 0

5 μ c g + 2 μ c g 2 t = v 0

7 μ c g t = 2 v 0

t = 2 v 0 7 μ c g

Como v 0 = 5   m / s , μ c = 0,3 e g = 10   m / s 2 , então

t = 2 · 5 7 · 0,3 · 10

t = 10 21 s

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

t = 10 21 s

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