Considere uma estrela que sofre algum tipo de oscilação. Como a frequência ω = 2 π / T (onde T é o período) da oscilação depende das propriedades da estrela? Para entender esse fato através de análise dimensional, responda os itens abaixo.

c) Utilizando análise dimensional, determine a dependência de ω com as propriedades da estrela.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a dimensão de ω em função das propriedades da estrela, que são a densidade de massa ρ , o raio da estrela R e a constante gravitacional G da lei da gravitação universal de Newton.

Pra descobrir como é essa relação, vamos supor a equação geral:

ω = ρ α R β G γ

Assim, vamos descobrir a relação descobrindo o valor das constantes α , β e γ . Só precisamos lembrar antes que a dimensão da densidade de massa ρ é M / L 3 , a do raio é o comprimento L e a da constante gravitacional é L 3 / M T 2 .

Vamos lá!

Passo 2

Fazendo ω = ρ α R β G γ , com:

ρ = M L 3

R = L

G = L 3 M T 2

Temos:

ω = M L 3 α L β L 3 M T 2 γ

E o enunciado nos disse que a frequência ω é dada por ω = 2 π / T (onde T é o período). Então, ela tem dimensão da inversa do tempo, T - 1 . Assim, nós temos:

T - 1 = M L 3 α L β L 3 M T 2 γ

Então, somando os expoentes onde temos bases iguais, vai ficar:

T - 1 = M α - γ ∙ L - 3 α + β + 3 γ ∙ T - 2 γ

Agora igualando os expoentes de cada lado da equação, temos o sistema:

α - γ = 0 - 3 α + β + 3 γ = 0 - 2 γ = - 1

Da terceira equação, temos γ = 1 2 . Substituindo na primeira equação:

α - γ = 0 → 1 2 - γ = 0

γ = 1 2

Substituindo α e γ na segunda equação:

- 3 α + β + 3 γ = 0

- 3 1 2 + β + 3 1 2 = 0 → β = 0

Então, nossa relação ω = ρ α R β G γ na verdade é:

ω = ρ 1 / 2 R 0 G 1 / 2

Ou seja:

ω = ρ G

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

ω = ρ G

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