Considere ondas na superfície da água, que são chamada de ondas de gravidade. Como a frequência ω = 2 π / T (onde T é o período) dessas ondas depende do chamado número de onda k = 2 π / λ (onde λ é o comprimento de onda)? Discuta porque as quantidades relevantes aqui são a densidade da água ρ , a aceleração da gravidade g e k . Use o fato que k = L - 1 e análise dimensional para encontrar uma expressão para ω ( k ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a uma expressão para a frequência ω em função do número de onda k , usando análise dimensional. Ele já nos diz que as quantidades relevantes nessa expressão a densidade da água ρ , a aceleração da gravidade g e k .

Nós sabemos que a densidade é igual a massa dividida pelo volume, então ela tem uma dimensão M / L 3 . A aceleração da gravidade é a taxa com a qual a velocidade varia no tempo, então sua dimensão é dada por L / T 2 . E o número de onda, o enunciado já disse que tem dimensão L - 1 .

Pra descobrir como é a relação entre esses parâmetros, vamos considerar a equação:

�� = k α ρ β g γ

Assim, vamos descobrir a relação descobrindo o valor das constantes α , β e γ . Só precisamos lembrar antes que a dimensão da frequência, que é o inverso do período, é T - 1 .

Vamos lá!

Passo 2

Fazendo ω = k α ρ β g γ , com:

k = L - 1

ρ = M L 3

g = L T 2

ω = T - 1

Temos:

T - 1 = ( L - 1 ) α M L 3 β L T 2 γ

Então, somando os expoentes onde temos bases iguais, vai ficar:

T - 1 = L - α - 3 β + γ ∙ M β ∙ T - 2 γ

Agora igualando os expoentes de cada lado da equação, temos o sistema:

- α - 3 β + γ = 0 β = 0 - 2 γ = - 1

Da terceira equação, temos γ = 1 2 . Substituindo β e γ na primeira equação:

- α - 3 β + γ = 0  

  - α - 3 0 + 1 2 = 0

α = 1 2

Então, nossa relação ω = k α ρ β g γ na verdade é:

ω = k 1 / 2 ρ 0 g 1 / 2

Acrescentando uma constante c ∈ R , temos::

ω = c k g

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

ω = c k g

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