Dados os vetores: A = 2 i - 3 j + 7 k e B = 5 i + j + 2 k encontre:

a) A + B

b) A - B

c) A ∙ B

d) o valor de A ≡ A ≡ A ∙ A = A 2 e de B ≡ B ≡ B ∙ B = B 2

e) o cosseno do ângulo entre A e B

f) A × B

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente realizar algumas operações entre os vetores A = 2 i - 3 j + 7 k e B = 5 i + j + 2 k . Pra isso, precisamos lembrar de algumas regrinhas desse tipo de operação:

A soma de vetores é dada pela soma das componentes de cada vetor. Na diferença (ou subtração), que não deixa de ser uma soma, também operamos cada componente com sua correspondente em cada vetor. No produto escalar, que tem aquele sinalzinho de , também basta multiplicar componente por por componente.

Na letra d , também temos um produto escalar, só que tá dentro de uma raiz quadrada, então a regra não muda. Basta multiplicar cada componente do vetor por ela mesma (ou elevar ao quadrado) e no final, somar tudo e tirar a raiz, o resultado será o módulo de cada vetor.

Na letra e , vamos precisar calcular o cosseno no ângulo entre vetores, para isso usaremos uma outra forma de calcular o produto escalar, que é dado pela fórmula:

A ∙ B = A B cos ⁡ θ

Assim, usando os resultado que encontraremos nos itens c e d , para A ∙ B e A , B , teremos o cosseno do ângulo e, consequentemente, o ângulo θ entre eles.

Por fim, vamos calcular o produto vetorial, A × B , através do determinante da matriz formada pelos vetores:

A × B = i j k 2 - 3 7 5 1 2

Vamos lá!

Passo 2

No item a , vamos calcular A + B , somando as compontentes dos vetores A = 2 i - 3 j + 7 k e B = 5 i + j + 2 k :

A + B = 2 i + 5 i + - 3 j + j + 7 k + 2 k

A + B = ( 2 + 5 ) i + ( - 3 + 1 ) j + ( 7 + 2 ) k

A + B = 7 i - 2 j + 9 k

Passo 3

No item b , vamos calcular A - B , seguindo o mesmo procedimento do passo anterior:

A - B = 2 i - 5 i + - 3 j - j + 7 k - 2 k

A - B = ( 2 - 5 ) i + ( - 3 - 1 ) j + ( 7 - 2 ) k

A - B = - 3 i - 4 j + 5 k

Passo 4

No item c , vamos calcular o produto escalar A ∙ B , fazendo o produto entre cada componente dos vetores A = 2 i - 3 j + 7 k = ( 2 ,   - 3 ,   7 ) e B = 5 i + j + 2 k = ( 5 ,   1 ,   2 ) :

A ∙ B = 2 ,   - 3 ,   7 ∙ ( 5 ,   1 ,   2 )

A ∙ B = 2 ∙ 5 + - 3 ∙ 1 + ( 7 ∙ 2 )

A ∙ B = 10 - 3 + 14

Portanto,

A ∙ B = 21

Passo 5

No item d , vamos calcular o valor de A ≡ A ≡ A ∙ A = A 2 e de B ≡ B ≡ B ∙ B = B 2 . Usando o mesmo procedimento do passo 4 , vamos calcular o produto escalar dentro da raiz:

  A = A ∙ A = 2 ,   - 3 ,   7 ∙ ( 2 ,   - 3 ,   7 )

A = 2 ∙ 2 + - 3 ∙ - 3 + ( 7 ∙ 7 )

A = 4 + 9 + 49 = 62

E para o módulo vetor B , temos:

B = B ∙ B = 5 ,   1 ,   2 ∙ 5 ,   1 ,   2

B = 5 ∙ 5 + 1 ∙ 1 + ( 2 ∙ 2 )

B = 25 + 1 + 4 = 30

Passo 6

No item e , vamos verificar qual é o o cosseno do ângulo entre A e B . Pra isso, vamos usar a fórmula do produto escalar:

A ∙ B = A B cos ⁡ θ

Isolando o cosseno do ângulo:

cos ⁡ θ = A ∙ B A B

A gente viu no passo 4 que A ∙ B = 21 . E vimos no passo 5 , que A = 62 e B = 30 . Substituindo na equação:

cos ⁡ θ = 21 62 ∙ 30 = 21 1860

Então, o ângulo θ é dado por:

θ = arccos ⁡ 21 1860

Passo 7

Por fim, vamos calcular o produto vetorial, A × B , através do determinante da matriz formada pelos vetores:

A × B = i j k 2 - 3 7 5 1 2

Assim, temos:

A × B = i - 3 7 1 2 - j 2 7 5 2 + k 2 - 3 5 1

A × B = i - 6 - 7 - j 4 - 35 + k ( 2 + 15 )

A × B = - 13 i + 31 j + 17 k

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a) A + B = 7 i - 2 j + 9 k

b) A - B = - 3 i - 4 j + 5 k

c) A ∙ B = 21

d) A = 62 e B = 30

e) θ = arccos ⁡ 21 1860

f) A × B = - 13 i + 31 j + 17 k

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