Em explosões nucleares há essencialmente uma liberação instantânea de energia E em uma pequena região do espaço. Isso produz uma onda de choque esférica, com a pressão dentro da onda de choque milhares de vezes maior que a pressão inicial do ar. Para identificar a dependência do raio R da onda de choque com o tempo, responda os itens abaixo:

c) Use análise dimensional para obter R ( t ) .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente obter uma relação para o raio R em função de t . Para isso, vamos usar os parâmetros relevantes da onda de choque, energia E , tempo t e densidade do ar ρ .

Pra descobrir como é a relação entre esses parâmetros, vamos considerar a equação:

R = E α t β ρ γ

Assim, vamos descobrir a relação descobrindo o valor das constantes α , β e γ . Só precisamos lembrar antes que a dimensão do raio é o comprimento L , a dimensão da energia (vista no item anterior) é M L 2 / T 2 , a do tempo é T e a da densidade é massa sobre volume, ou seja, M / L 3 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar reunindo nossa informações. Nós temos:

E = M L 2 T 2

t = T

ρ = M L 3

R = L

Substituindo isso na equação R = E α t β ρ γ , temos:

L = M L 2 T 2 α T β M L 3 γ

Então, somando os expoentes onde temos bases iguais, vai ficar:

L = M α + γ ∙ L 2 α - 3 γ ∙ T - 2 α + β

Agora igualando os expoentes de cada lado da equação, temos o sistema:

α + γ = 0 2 α - 3 γ = 1 - 2 α + β = 0

Da primeira equação, temos α = - γ . Substituindo na segunda equação:

2 α - 3 γ = 1  

  2 ( - γ ) - 3 γ = 1

γ = - 1 5

E como α = - γ , temos α = 1 5 . Substituindo α na terceira equação:

- 2 α + β = 0

- 2 1 5 + β = 0

β = 2 5

Então, nossa relação R = E α t β ρ γ na verdade é:

R = E 1 / 5 t 2 / 5 ρ - 1 / 5

Acrescentando uma constante k ∈ R , temos::

R ( t ) = k E t 2 ρ 5

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

R ( t ) = k E t 2 ρ 5

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