Um dos fenômenos mais comuns presentes na nossa atmosfera é o chamado Equilíbrio Hidrostático, que representa um balanço entre a pressão atmosférica e a força gravitacional. Utilizando análise dimensional, também conseguimos encontrar uma expressão para a pressão P (força por unidade de área) de uma coluna de gás em termos da densidade do gás ρ , da altura da coluna h e da gravidade g . Para isto, responda os itens abaixo.

c) Use análise dimensional para obter P em função de ρ , g e h .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a dimensão de P . Pra isso, a gente vai precisar usar a análise dimensional, lembra dela? A análise dimensional nos permite gerar novas grandezas a partir de grandezas fundamentais, como massa, comprimento e tempo. Nós representamos essas grandezas básicas da seguinte forma:

  • Massa: M
  • Comprimento: L
  • Tempo: T

Então, sabendo que P representa uma pressão e que ela é dada pela força por unidade área, vamos usar as dimensões de cada componente para determinar a dimensão de P em função da densidade ρ , da gravidade g e da altura h .

Vamos lá!

Passo 2

Como a gente quer que P esteja em função de ρ , g e h , vamos escrever a função geral:

P = ρ α g β h γ

Onde α , β e γ são constantes que nós vamos descobrir o valor. Como ρ representa a densidade e a densidade é dada pelo quociente entre massa e volume, temos:

ρ = M L 3 α

g é a aceleração da gravidade, que é tem dimensões de distância divido pelo tempo ao quadrado, ou seja:

g = L T 2 β

Por fim, temos h que é a altura e tem dimensão de comprimento:

h = [ L ]

Assim, nossa equação vai ficar:

P = M L 3 α L T 2 β L γ

Mas, a gente sabe que pressão é força sobre área, ou seja, P = [ M / L T 2 ] . Assim, temos:

M L 3 α L T 2 β L γ = M L T 2

Passo 3

Escrevendo essa equação em forma de produto:

M α ∙ L - 3 α + β + γ ∙ T - 2 β = M ∙ L - 1 ∙ T - 2

Igualando os expoentes com as mesma bases em cada lado da equação, temos:

α = 1

- 3 α + β + γ = - 1

- 2 β = - 2

Da terceira equação, temos β = 1 . A primeira equação nos dá α = 1 . Substituindo os dois resultados na segunda equação, temos:

- 3 1 + 1 + γ = - 1

γ = 1

Substituindo os valores dos expoentes na equação, temos P em função de ρ , g e h :

M ∙ L - 1 ∙ T - 2 = M L T 2

Que são as mesma dimensões da pressão em função da força e da área, o que nos diz que nosso resultado é coerente com as unidades de pressão.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

P = M L T 2

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