Um balão esférico está sendo enchido a uma taxa de 4   m 3 / s . Encontre a taxa de crescimento do raio do balão quando o diâmetro for igual a 8   m . Encontre todos os pontos sobre a curva dada pela equação

x 4 y 5 + x 5 y 4 = 2 C

nos quais a inclinação da reta tangente à curva é igual a - 1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado nos deu dois problemas. O primeiro é achar a taxa de crescimento do raio de um balão, que está sendo enchido a uma taxa de 4   m 3 / s , quando seu diâmetro for de 8   m . E o segundo é encontrar os pontos nos quais a inclinação da reta tangente à curva é igual a - 1 .

Para o primeiro problema, como o bal��o é esférico, vamos usar a fórmula do volume da esfera:

V = 4 3 π r 3

Como a taxa de variação desse volume é de 4   m 3 / s , isso quer dizer que a derivada do volume em relação ao tempo é de 4   m 3 / s . É daí que a gente vai partir pra encontrar a taxa de crescimento do raio, d r d t .

No segundo problema, para descobrir os pontos em que a inclinação da reta é igual a - 1 , vamos precisar calcular a derivada implícita da equação. Assim, vamos encontrar y ' , que é a inclinação da reta, e igualar o resultado a - 1 , de modo a achar os pontos ( x ,   y ) .

Então, vamos lá!

Passo 2

Vamos começar encontrando a taxa de variação do raio do balão. Usando a informação de que a taxa de variação do volume é 4   m 3 / s e a equação de volume da esfera, temos:

d d t V = 4   m 3 / s

d d t 4 3 π r 3 = 4

Colocando as constantes do lado de fora da derivada:

4 3 π d d t r 3 = 4

Pra resolver essa derivada de r 3 , vamos precisar usar a regra da cadeia:

d d t f r = d f d r d r d t

Então:

d d t r 3 = d r 3 d r d r d t

d d t r 3 = 3 r 2 d r d t

Colocando isso de volta na equação da esfera:

4 3 π d d t r 3 = 4

4 3 π 3 r 2 d r d t = 4

Isolando d r d t , temos a taxa de crescimento do raio:

d r d t = 4 ∙ 3 4 π ∙ 3 r 2 = 1 π r 2

Então, quando o diâmetro é de 8   m , o raio da esfera é:

r = 8 2 = 4   m

E sua taxa de variação será:

d r d t = 1 π 4 2

d r d t = 1 16 π

Passo 3

Agora para resolver o problema da inclinação da reta, vamos derivar a equação x 4 y 5 + x 5 y 4 = 2 C implicitamente em relação a x :

4 x 3 y 5 + 5 x 4 y 4 y ' + 5 x 4 y 4 + 4 x 5 y 3 y ' = 0

Colocando y ' em evidência:

y ' 5 x 4 y 4 + 4 x 5 y 3 = - 4 x 3 y 5 - 5 x 4 y 4

y ' = - 4 x 3 y 5 - 5 x 4 y 4 5 x 4 y 4 + 4 x 5 y 3

Simplificando:

y ' = - y ( 5 x + 4 y ) x ( 4 x + 5 y )

Como a gente quer os pontos onde a inclinação é igual a - 1 e a inclinação é a própria derivada y ' , vamos igualar esse resultado a - 1 :

- y ( 5 x + 4 y ) x ( 4 x + 5 y ) = - 1

- y 5 x + 4 y = - x ( 4 x + 5 y )

Aplicando a propriedade distributiva:

- 5 x y - 4 y 2 = - 4 x 2 - 5 x y

Simplificando, obtemos:

y 2 = x 2

y = ± x

Substituindo y = x na equação x 4 y 5 + x 5 y 4 = 2 C , vamos ter:

x 4 x 5 + x 5 x 4 = 2 C

2 x 9 = 2 C

x = C 1 / 9

E para y = - x , temos:

x 4 ( - x ) 5 + x 5 ( - x ) 4 = 2 C

- x 9 + x 9 = 2 C

2 C = 0 → C = 0

Então, nossos pontos são ( C 1 / 9 ,   C 1 / 9 ) e ( 0 ,   0 ) .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d r d t = 1 16 π

( C 1 / 9 ,   C 1 / 9 ) e ( 0 ,   0 )

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