Considere em cada um dos itens abaixo a função dada por g ( x ) e em seguida determine o que

se pede:

g ( x ) = x 2 e - x

Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de g ( x ) .

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Nosso objetivo é encontrar os intervalos de crescimento e de decrescimento de g ( x ) .

Como encontramos as regiões de crescimento e decrescimento de uma função? Ora, fazemos o estudo do sinal da primeira derivada. Então vamos a luta!!!

Vamos começar derivando a nossa g ( x )

d d x g ( x ) = d d x x 2 e - x

usando a regra do produto, temos:

d d x x 2 e - x = 2 x e - x - x 2 e - x

= e - x ( - x 2 + 2 x )

Passo 2

Agora que temos a nossa derivada, vamos descobrir para quais valores de x ela vale zero. Isto é, quando

e - x ( - x 2 + 2 x ) = 0

No caso como e - x > 0 , então

e - x ( - x 2 + 2 x ) = 0

⇔ ( - x 2 + 2 x ) = 0

Que é uma equação do segundo grau, cujas raízes são:

x = 0 ,   e   x = 2

Logo esses são os pontos onde a nossa derivada é zero. Vamos verificar o sinal da nossa derivada para os valores onde x < 0 , 0 < x < 2 , x > 2 ,

Começando com x < 0 .

Se x < 0 , então

e - x ( - x 2 + 2 x ) < 0

Se 0 < x < 2 , então

e - x ( - x 2 + 2 x ) > 0

se x > 2 , então

e - x ( - x 2 + 2 x ) < 0

Na reta real ficaria assim.

Dessa forma, temos os intervalos de crescimento e decrescimento de g ( x )

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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