1. Considere a f : R → R dada por f x = x e - x 2 e suas derivadas f ' x = 1 - 2 x 2 e - x 2   e f ' ' x = 4 x 3 - 6 x e - x 2
  1. Determine os intervalos onde a função f é crescente e onde é decrescente.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós precisamos dizer quando a função cresce e decresce. Para isso vamos analisar a nossa primeira derivada.

Para quem não lembra:

  • Se f ' x < 0 , a função é decrescente.
  • Se f ' x > 0 , a função é crescente.

Bora lá!

Passo 2

Então, galerinha, a o problema nos forneceu essa derivada,

f ' x = 1 - 2 x 2 e - x 2

Para facilitar a nossa análise, vamos dividi-la em duas partes: a primeira parte é 1 - 2 x 2 e segunda parte é e - x 2 .

A parte exponencial e - x 2 é sempre positiva. Mas a outra parte é polinômio de segundo grau, então temos que descobrir quando ele é positivo ou negativo.

1 - 2 x 2 = 0

x 2 = 1 2

x = ± 1 2

Como o termo que acompanha o x 2 é negativa, então a nossa função é côncava para baixo. Logo, a parte ( 1 - 2 x 2 ) é negaitiva nos intervalos - ∞ , - 1 2 e 1 2 , + ∞ . E será positiva em - 1 2 , 1 2 .

Agora vamos montar a nossa tabelinha!

Passo 3

Organizando os nossos dados, ficamos com

Fazendo o produto das duas partes da derivada, ficamos com

Agora, sabendo que quando a derivada é positiva, a função cresce; e quando ela é negativa, a nossa função decresce, teremos:

Resposta

  • A função cresce em - 1 2 , 1 2 .
  • A função decresce em - ∞ , - 1 2 e 1 2 , + ∞

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