Determine os intervalos para os quais as funções seguintes são crescentes e decrescentes.

( a )   f ( x ) = x 2 + 8 x + 14

Passo 1

Oiiie, tudo certinho contigo?

Precisamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento para a função

f ( x ) = x 2 + 8 x + 14

existem diversas maneiras de fazermos isso! Como essa lista parece ser dos conceitos básicos de função e prévio à definição de derivação! Vamos analisar isso de maneira algébrica! Tudo bem? Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, isso é um polinômio de segunda ordem, que em geral tem o seguinte formato

f ( x ) = a x 2 + b x + c

como em nosso caso a = 1 > 0 , temos que a concavidade é para cima! Isso é importante, mas vamos guardar essa informação por agora! Uma coisa que vale a pena fazermos, é utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrarmos as raízes deste polinômio, temos que

x ± = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

temos que a = 1 , b = 8 e c = 14 , portanto, as nossas raízes são

x + = - 8 + 64 - 4 ( 1 ) ( 14 ) 2 ( 1 ) = - 4 + 2 2 e x - = - 8 - 64 - 4 ( 1 ) ( 14 ) 2 ( 1 ) = - 4 - 2 2

Mas porquê encontramos estes valores? Saca só!

Passo 3

Este é um polinômio de segundo grau com a > 0 , portanto, temos uma parábola com concavidade para cima, que cruza o eixo x nas duas raízes que obtivemos! A função é simétrica em relação a uma eixo que passa por seu mínimo! Esse eixo, está exatamente no ponto médio entre as suas duas raízes, portanto, podemos escrever que

x m i n = x + + x - 2 = - 4 + 2 2 - 4 - 2 2 2

ou, simplesmente

x m i n = - 8 2 = - 4

se essa é uma parábola com mínimo em x = - 4 , e ela tem concavidade para cima, temos que o intervalo de decrescimento é

( - ∞ , 4 )

e, o intervalo de crescimento é

( - 4 , ∞ )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Decrescimento: ( - ∞ , 4 ) e Crescimento: ( - 4 , ∞ )

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