Seja y = f ( x ) uma função definida em R \ { 0 } , contínua em todo o seu domínio e satisfazendo as condições abaixo:

f - 5 = 2 ,   f - 4 = 1 ,   f - 3 = 3 ,   f - 3 2 = 4 e lim x → ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = 0

Suponha que o gráfico de f ' ( x ) é dado pela figura abaixo:

Responda, justificando, o que se pede:

a ) Os intervalos onde f é crescente, e onde f é decrescente.

Passo 1

Fala galera, tudo bem com vocês?

Nessa questão temos uma função f ( x ) , com a informação de algum dos seus pontos:

f - 5 = 2 f - 4 = 1 f - 3 = 3 f - 3 2 = 4

Também foi dado o gráfico da derivada de f ( x ) , ou seja, f ' x .

Além disso, o enunciado também nos falou que:

lim x → + ∞ ⁡ f ( x ) = lim x → - ∞ ⁡ f ( x ) = 0

Com essas informações precisamos determinar os intervalos em que f é crescente, e os intervalos em que f é decrescente.

A ideia é olharmos para a derivada de f , se:

f ' x > 0 ∴ f   é   c r e s c e n t e f ' x < 0 ∴ f   é   d e c r e s c e n t e

Então, vamos usar o gráfico dado para obter essa informação.

Passo 2

Vamos analisar o gráfico da derivada da função:

Primeiro vamos pesquisar os intervalos em que a função está crescendo. Ou seja, os trechos em que f ' x > 0 .

Temos:

- ∞ ,   - 5 ∪ - 4 ,   - 3 2 ∪ - 3 2 ,   0 ∪ 0 ,   + ∞

E é isso! Esses são os intervalos em que a função cresce.

Já para a parte decrescente, devemos ver os intervalos em que f ' < 0 . Ou seja:

( - 5 ,   - 4 )

Prontinho!

Pegaram a ideia? Obrigado pela atenção 😊

Resposta

f crescente: - ∞ ,   - 5 ∪ - 4 ,   - 3 2 ∪ - 3 2 ,   0 ∪ 0 ,   + ∞

f decrescente:

( - 5 ,   - 4 )

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