Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

USP, Cálculo 1, P2 - 2014, Questão 4_ii

Esboce, no espaço abaixo, o gráfico da função f x = x 2 x - 1 e - 1 x , determinando:

i i ) os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;

Passo 1

Devemos derivar a função e analisar o sinal dela:

f ' x = x 2 e - 1 x ' x - 1 - x 2 e - 1 x x - 1 ' x - 1 2

= e - 1 x 2 x + 1 x - 1 - x 2 e - 1 x x - 1 2

= e - 1 x 2 x + 1 x - 1 - x 2 x - 1 2 = e - 1 x x 2 - x - 1 x - 1 2

A exponencial, por natureza, vai ser sempre positiva, bem como o termo ao quadrado (já que a função também não está definida em x = 1 , então não será nulo). Basta analisar a parábola de cima para resolver o sinal da derivada:

x 2 - x - 1 = 0

Usamos Bhaskara:

x = 1 ± 5 2

Como ela tem concavidade para cima (a parábola analisada), podemos garantir que f ' ( x ) é negativo entre as raízes x = 1 ± 5 2 e positivo no resto do domínio.

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Resposta

f ( x )   é   d e c r e s c e n t e   e n t r e   a s   r a í z e s   x = 1 ± 5 2   e   c r e s c e n t e   n o   r e s t o   d o   d o m í n i o

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