Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

USP, Cálculo 1, P2 - 2019, Questão ME11

Considere a função f : I R - 0 I R dada por:

f x = - x + 1 + 1 x + 1 x 2

É correto afirmar que f é estritamente crescente em:

  1. ] - 7 2 , - 3 [
  2. ] 1 2 ,   1 [
  3. ] - 2 ,   - 3 2 [
  4. ] - 1 ,   - 1 2 [
  5. ] - 3 2 , - 1 [

Passo 1

Bora começar. Primeiro de tudo, como a função quer saber em que intervalo a função é estritamente crescente, na verdade na verdade o que ela ta pedindo é pra você dizer em que valores de x vale:

f ' x > 0

Então não tem jeito, vamos ter que derivar! Mão na massa!

f ' x = - x + 1 + 1 x + 1 x 2 ' = - x 3 x 2 + x 2 x 2 + x x 2 + 1 x 2 '

f ' x = - x 3 + x 2 + x + 1 x 2 '

Pela regra do quociente:

f ' x = - x 3 + x 2 + x + 1 ' x 2 - - x 3 + x 2 + x + 1 x 2 ' x 4

f ' x = - 3 x 2 + 2 x + 1 x 2 - - x 3 + x 2 + x + 1 2 x x 4

f ' x = - 3 x 2 + 2 x + 1 x - - x 3 + x 2 + x + 1 2 x 3

f ' x = - 3 x 3 + 2 x 2 + x - - 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x + 2 x 3

Continuando, temos:

f ' x = - 3 x 3 + 2 x 2 + x + 2 x 3 - 2 x 2 - 2 x - 2 x 3

f ' x = - x 3 - x - 2 x 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, vamos ver quando que essa primeira derivada zera:

f ' x = - x 3 - x - 2 x 3 = 0

- x 3 - x - 2 = 0

Puts, e isso é uma função do terceiro grau né!? Por sorte dá pra gente só de olhar sacar que x = - 1 é uma raiz. Sendo assim, podemos fazer um Briot-Ruffini:

- 1 - 1 + 0 = 1

1 - 1 + - 1 = - 2

- 2 - 1 + - 2 = 0

Então estão aí os coeficientes do polinômio! Vamos ter que:

- x 3 - x - 2 = 0

x + 1 - x 2 + x - 2 = 0

Agora que temos um produto de polinômios, pra isso dar zero, a gente tem duas opções ó:

x - 1 = 0

- x 2 + x - 2 = 0

No primeiro caso é tranquilo de ver que x = - 1 é uma resposta, agora pro segundo, a gente tem que fazer Bháskara! Seja então:

- x 2 + x - 2 = a x 2 + b x + c = a x - x 1 x - x 2

x 1,2 = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

E fazendo:

x 1,2 = - 1 ± 1 - 4 . - 1 . - 2 2 . - 1   = - 1 ± 1 - 8 2 . - 1   = - 1 ± - 7 2 . - 1  

Opa, calma lá, raiz negativa? É galera, isso quer dizer que o polinômio não tem raiz real! Sendo assim o único jeito de...

x + 1 - x 2 + x - 2 = 0

...ser verdade é se x = - 1 !

Passo 3

Agora vamos interpretar tudo que achamos. A primeira derivada da função é:

f ' x = - x 3 - x - 2 x 3

E ela zera somente em x = - 1 . Pra saber então o sinal da primeira derivada vamos analisar ela em intervalos que envolvam esse ponto e o ponto x = 0 já que ele não está definido? Beleza? Os intervalos vão ser:

- , - 1

- 1,0

0 , +

Pro primeiro intervalo, podemos testar, por exemplo, x = - 2 , pro segundo x = - 1 2 e pro terceiro x = 2 . Vamos ter:

f ' - 2 = - - 2 3 - - 2 - 2 - 2 3 = - 1 < 0

f ' 1 2 = - - 1 2 3 - - 1 2 - 2 - 1 2 3 = 11 > 0

f ' 2 = - 2 3 - 2 - 2 2 3 = - 3 2 < 0

Como uma função é estritamente crescente no intervalo em que f ' x > 0 , dos intervalos do enunciado, somente o intervalo:

] - 1 ,   - 1 2 [

Se enquadra, pois ele é o único que está contido no intervalo - 1 , 0 onde f ' x > 0 . A letra certa então é a D !

Resposta

L e t r a   D

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