Sejam K uma constante positiva e f : R → R satisfazendo:

lim x → - ∞ ⁡ f x = 0

lim x → + ∞ ⁡ f x = + ∞

E

f ' x = K e x 2 1 + x 2   p a r a   t o d o   x ∈ R

  1. Determine os pontos críticos, intervalos em que f é crescente e intervalos em que f é decrescente.
  2. Determine f ' ' x e use o teste da derivada segunda para classificar os pontos críticos de f .
  3. Determine os intervalos em que a concavidade do gráfico de f é para cima, os intervalos em que ela é para baixo e os pontos de inflexão do gráfico de f .
  4. Usando os itens anteriores, faça um esboço do gráfico de f supondo que

f - 4 = - 3 ; f - 2 = - 4 ; f 0 = 0

Passo 1

Bora enfrentar essa questão gigante, pessoal! O primeiro pedido é para a gente identificar os pontos críticos da função e quando isso acontece? Quando a derivada da função não existe ou a derivada é igual a zero:

f ' x = 0   o u   f ' x   n ã o   e x i s t e

O que já nos foi dado é que a derivada da função é:

f ' x = K e x 2 1 + x 2

Vamos começar pensando aqui: tem algum valor de x que faz com que essa função não exista? Não, então só vamos poder encontrar o ponto crítico se igualarmos essa função a zero:

f ' x = K e x 2 1 + x 2 = 0

Como K é uma constante positiva, ou seja, maior que zero e a função:

e x / 2

É sempre maior que zero, então a única parcela da derivada que pode tornar a derivada igual a zero é:

1 + x 2 = 0

Então encontramos um único ponto crítico:

x 2 = - 1

x = - 2

Passo 2

Como temos que analisar o crescimento e decrescimento, temos que dividir essa derivada da função nas parcelas dos produtos que são:

e x 2

E

1 + x 2

E vamos dividir a análise de sinal de - ∞ até o nosso ponto crítico ( - 2 ) e depois até + ∞ :

Vamos pensar: Se substituirmos o valor de x por um valor negativo ou positivo em e x 2   , sempre encontraremos um valor positivo:

e x 2 > 0

Então nosso quadro fica dessa forma:

Agora se substituirmos o valor de x por um valor entre - ∞ e - 2 , nós vamos encontrar um valor negativo para:

1 + x 2 < 0

Enquanto se substituirmos o valor de x por valores maiores que - 2 , então encontramos valores positivos para a função:

1 + x 2 > 0

Nosso quadro fica dessa forma:

Vamos juntar isso tudo, como a constante K é positiva, então o produto entre valores positivos e valores negativos é igual a valores negativos. Por outro lado, o produto entre valores positivos é igual a um resultado positivo. Nosso quadro então:

Agora temos que lembrar que a função é crescente quando a derivada é maior que zero, enquanto a função é decrescente quando a derivada é menor que zero:

f x : d e c r e s c e n t e     n o   i n t e r v a l o   ] - ∞ , - 2 [

f x : c r e s c e n t e     n o   i n t e r v a l o   ] - 2 , + ∞ [

Essa foi a letra “a”!

Passo 3

Para a letra “b”, temos que aplicar o teste da Segunda Derivada para classificar o Ponto Crítico. A primeira derivada foi dada:

f ' x = K e x 2 1 + x 2

Vamos derivar novamente para encontrar a Segunda Derivada:

f ' ' x = K e x 2 1 + x 2 '

Vamos aplicar a Regra do Produto:

f ' ' ( x ) = K e x 2 1 + x 2 ' = K e x 2 ' ⋅ 1 + x 2 + K e x 2 ⋅ 1 + x 2 '

Como sabemos que a derivada da exponencial e ela mesma vezes o expoente:

K e x 2 = K ⋅ 1 2 e x 2

Enquanto a derivada da divisão entre x e um número é:

1 + x 2 ' = 1 2

Então nossa Segunda Derivada é:

f ' ' x = K e x 2 ' ⋅ 1 + x 2 + K e x 2 ⋅ 1 + x 2 ' = K ⋅ 1 2 e x 2 ⋅ 1 + x 2 + K e x 2 ⋅ 1 2

Melhorando essa expressão, nós chegamos em:

f ' ' x = K 2 ⋅ e x 2 1 + x 2 + 1 = K 2 ⋅ e x 2 2 + x 2

Agora no teste da Segunda Derivada, vamos aplicar o valor do Ponto Mínimo na função que encontramos:

x = - 2

f ' ' - 2 = K 2 ⋅ e - 2 2 2 + - 2 2 = K 2 ⋅ e ⋅ 2 - 1 = K 2 ⋅ e

Ou seja, a Segunda Derivada assume um valor positivo! E o que significa quando a segunda derivada do ponto crítico dá um valor maior que zero? Encontramos um Ponto de Mínimo!

Resposta da letra “b” concluída com sucesso!

Passo 4

Para começar bem a letra “c”, vamos encontrar os pontos de inflexão! Esses pontos ocorrem onde a segunda derivada é igual a zero ou não existe:

f ' ' x = 0   o u   f ' ' x   n ã o   e x i s t e

Bom, nós já calculamos a segunda derivada no passo anterior:

f ' ' x = K 2 ⋅ e x 2 2 + x 2

Olhando para essa função, existe algum x que faz com que a função não existe? Não, então não temos esse tipo de Ponto de Inflexão. Vamos verificar então quais são os valores de x que fazem com que a segunda derivada seja igual a zero:

f ' ' x = K 2 ⋅ e x 2 2 + x 2 = 0

Bom, já sabemos K   e e x 2 são sempre maiores que zero, então o único jeito que podemos tornar a segunda derivada igual a zero, é fazer:

2 + x 2 = 0

Então:

x 2 = - 2

Encontramos o ponto de inflexão igual a:

x = - 4

Passo 5

Mas para que serve o ponto de inflexão? É ele que determina a mudança da concavidade da função, ou seja, vamos montar aquele quadro que fizemos para analisar o sinal da função para valores antes e depois do ponto de inflexão:

Como já falamos, para qualquer valor de x , a função e x 2 sempre será maior que zero:

Enquanto para valores de x menores que - 4 , a função 2 + x 2 terá valores negativos. Isso se inverte quando colocamos valores de x maiores que - 4 , nossa função toma valores positivos:

Agora se multiplicarmos essas partes, teremos que a Segunda derivada assume valores negativos, quando x < - 4 e valores positivos, quando x > - 4 >

Logo, o estudo da concavidade aponta que como a derivada segunda é negativa no intervalo ] - ∞ , - 4 [ e é positiva no intervalo ] - 4 , - ∞ [ , então:

f x : c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   e m   ] - ∞ , - 4 [

f x : c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a   e m   ] - 4 , + ∞ [

Passo 6

Para montarmos o gráfico, o enunciado nos deu os seguintes pontos:

f - 4 = - 3 ; f - 2 = - 4 ; f 0 = 0

Então vamos colocar esses pontos no gráfico:

Colocando a concavidade para baixo para valores onde x < - 4 e concavidade para cima após x > - 4 , então temos:

Resposta

  1. x = - 2

    f x : d e c r e s c e n t e     n o   i n t e r v a l o   ] - ∞ , - 2 [

    f x : c r e s c e n t e     n o   i n t e r v a l o   ] - 2 , + ∞ [

  2. Ponto Mínimo
  3. x = - 4

    f x : c o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o   e m   ] - ∞ , - 4 [

    f x : c o n c a v i d a d e   p a r a   c i m a   e m   ] - 4 , + ∞ [

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