Uma particula se desloca sobre o gráfico da fun ̧c ̃ao

f ( x )   =   1 / ( 1   +   x )

no 1 º quadrante de forma que sua coordenada x é o vértice de um triângulo retângulo como na figura abaixo.

Se a taxa de variação da coordenada x é constante igual a 4   u / s   , determine a taxa de variação área do triângulo no instante em que x   =   1 .

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo 1. Dessa vez uma envolvendo taxa relacionada

Nosso objetivo é determinar a taxa de variação da área do triângulo no instante em que x   =   1 .

? Onde o nosso triângulo é formado segundo a figura a seguir

Para podermos resolver essa questão precisamos entender melhor o que está acontecendo.

O eixo x do nosso triângulo se move conforme a figura acima, o enunciado diz que está se movendo a uma velocidade constante de   4   u / s   .

Ou seja, o enunciado já nos diz que é a variação do eixo x , isto é:

d x d t =     4   u / s

Mas queremos saber a taxa de variação da área do triângulo. Então se A representa a áre, queremos saber

d A d t

Quando x = 1 . Bem, vamos trabalhar com isso.

Passo 2

Agora, vamos usar a fórmula da área do triângulo para conseguir alguma relação entre a área e x . Usando a imagem acima, vemos que a área é:

A ( x ) = x 2 ( 1 + x )

Agora, podemos usar derivadas implícitas para obtermos d A d t

Passo 3

Derivando implicitamente

A ( x ( t ) ) = x ( t ) 2 ( 1 + x ( t ) )

(estamos enfatizando que x são funções de t )

Temos:

d d t A ( x ( t ) ) = d A ( x ) d x d x d t

Calculando a derivada de A em relação a x , temos:

d A ( x ) d x = d d x x 2 ( 1 + x )

Usando a regra da derivada da divisão

= 2 ( 1 + x ) - x 2 2 2 ( 1 + x ) 2

= 2 4 ( 1 + x ) 2

= 1 2 ( 1 + x ) 2

Ou seja descobrimos que

d A ( x ) d x = 1 2 ( 1 + x ) 2

Agora, podemos substituir isso na expressão

d d t A ( x ( t ) ) = d A ( x ) d x d x d t

⇒ d d t A ( x ( t ) ) = 1 2 ( 1 + x ) 2 d x d t

Olhá só, apareceu o nosso termo de interesse d A d t . Agora só precisamos substituir os valores que calculamos anteriormente. Queremos d A d t quando x = 1 . E por último, vimos no passo 1 que o enunciado diz que d x d t =   4 u / s . Substituindo esses valores na equação acima temos:

d d t A ( x ( t ) ) = 1 2 ( 1 + x ) 2 d x d t

substituindo os valores

= 1 2 ( 1 + 1 ) 2 4

= 1 2

Ou seja, a taxa de variação da área do triângulo quando x = 1 é 1 2

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

1 2

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