Para cada função f definida abaixo faça todos os itens a seguir:

  • Encontre a função f ' ( x ) e os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;
  • Encontre a função f ' ' ( x ) e estude a concavidade de f .

f x = x 2 - 4 16 - x 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e nos pede primeiro para determinarmos a sua derivada f x .

Com essa derivada, devemos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f x , ou seja, devemos determinar os pontos críticos (onde f ' x = 0 ) e verificar o comportamento da função.

Depois, derivamos f ' x para encontrarmos a segunda derivada f ' ' x .

Para verificar a concavidade, temos que lembrar que se a derivada segunda for negativa, a concavidade da função é voltada para baixo e, se for positiva, a concavidade é voltada para cima.

Agora vamos lá!!

😉

Passo 2

Então... primeiramente vamos encontrar a derivada primeira utilizando a regra do quociente:

f ' x = 16 - x 2 x 2 - 4 ' - x 2 - 4 16 - x 2 ' 16 - x 2 2 ∴

f ' x = 16 - x 2 2 x - x 2 - 4 - 2 x 16 - x 2 2 ∴

f ' x = 24 x 16 - x 2 2

Agora vamos fazer f ' x = 0 para encontrarmos os pontos críticos:

24 x = 0 ∴

x = 0

Agora podemos estudar os intervalos da nossa função:

  • Para valores menores que 0 (vamos escolher x = - 1 ):
  • f ' - 1 = 24 - 1 16 - - 1 2 2 = - 8 75

  • Para valores maiores que 0 (vamos escolher x = 1 ):

f ' - 1 = 24 1 16 - 1 2 2 = 8 75

Com base nesses resultados, podemos afirmar:

f x = c r e s c e n t e   p a r a   x > 0 d e c r e s c e n t e   p a r a   x < 0

Passo 3

Derivando f ' x para encontrarmos a segunda derivada, também utilizando a regra do quociente, obtemos:

f ' ' x = 16 - x 2 2 24 x ' - 24 x 16 - x 2 2 ' 16 - x 2 2 2 ∴

f ' ' x = 24 3 x 2 + 16 16 - x 2 3

Fazendo f ' ' x = 0 , temos:

24 3 x 2 + 16 16 - x 2 3 = 0 ∴

3 x 2 + 16 = 0 ∴

x 2 = - 16 3

Dessa forma, como não existe valores reais para a resposta, não podemos determinar a concavidade de f x .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f ' x = 24 x 16 - x 2 2

f x = c r e s c e n t e   p a r a   x > 0 d e c r e s c e n t e   p a r a   x < 0

f ' ' x = 24 3 x 2 + 16 16 - x 2 3

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