Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 14, Questão 19

Mostre que p x = x 3 - 3 x 2 + 6 tem exatamente uma raiz real e localize-a em um intervalo de amplitude máxima 1 .

Passo 1

Vamos estudar o sinal de p ' x pra descobrir como varia p x .

Derivando:

p ' x = 3 x 2 - 6 x

p ' x = 3 x x - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Logo,

p ' x = 0 x = 0     o u     x = 2

Então esses são os pontos críticos de p , e temos

p ' x < 0 , x 0 ,   2 p ' x > 0 , x - ,   0 2 ,  

Portanto, p x é decrescente em 0 ,   2 e crescente em - ,   0 2 ,   .

Passo 3

Agora vejamos quais são os valores da função nos pontos críticos:

p 0 = 0 - 0 + 6 = 6 p 2 = 8 - 12 + 6 = 2

E pela análise que fizemos logo antes, x = 0 é um ponto de máximo local, enquanto que x = 2 é um ponto de mínimo local.

Passo 4

Só nos falta uma última ferramenta pra provar o que ele pediu: o Teorema do Valor Intermediário.

Vimos que

  • p x   é   c r e s c e n t e   e m   - ,   0
  • p 0 = 6 > 0

Vamos pegar algum valor de x < 0 tal que p x < 0 . Por exemplo, x = - 2 :

p - 2 = - 8 - 12 + 6 = - 14 < 0

Então temos que p x é uma função contínua (é um polinômio) e crescente no intervalo - 2 ,   0 , sendo que p - 2 < 0 e p 0 > 0 .

Logo, pelo Teorema do Valor Intermediário, p x tem uma única raiz no intervalo - 2 ,   0 .

Passo 5

Ok, localizamos a raiz, mas ele quer um intervalo de amplitude máxima 1. Então vamos calcular p - 1 e ver no que dá:

p - 1 = - 1 - 3 + 6 = 2 > 0

Show, então pelo mesmo raciocínio que usamos agora a pouco, pelo TVI, temos que p x possui uma única raiz no intervalo - 2 ,   - 1 .

Passo 6

Agora só resta provar que não existem outras raízes.

Nós fatiamos o R em 3 intervalos, né? De - a 0 , de 0 a 2 , e de 2 a . Então vamos ver esses intervalos um por um e provar que não existem raízes neles, beleza?

Começando pelo intervalo - ,   0 .

Na verdade esse intervalo é o que tem a raiz né. Mas descobrimos que ela está entre - 2 e 0 . Então provemos que não há nenhuma entre - e - 2 .

Isso é bem simples: a função é crescente no intervalo - ,   - 2 , então o seu valor máximo é atingido em x = - 2 e:

p - 2 < 0 p x < 0 ,   x - ,   - 2

Ok, não há raízes nesse intervalo.

Passo 7

Agora vejamos o intervalo 0 ,   2 .

A função é decrescente nesse intervalo, temos p 0 = 6 > 0 e p 2 = 2 > 0 .

Portanto, pelo mesmo raciocínio do passo anterior temos:

p x > 0 ,   x 0 ,   2

Passo 8

E no intervalo 2 ,   também vai ser bem rápido.

Nesse intervalo a função é crescente, e como p 2 > 0 :

p x > 0 ,   x 2 ,  

Com isso provamos que p x tem exatamente uma raiz real e que ela está no intervalo - 2 ,   - 1 .

Resposta

A raiz está no intervalo - 2 ,   - 1 .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas