Determine os intervalos para os quais as funções seguintes são crescentes e decrescentes.

( b )   y = - x 2 + 6 x - 10

Passo 1

Oiiie, tudo certinho contigo?

Precisamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento para a função

y = - x 2 + 6 x - 10

existem diversas maneiras de fazermos isso! Como essa lista parece ser dos conceitos básicos de função e prévio à definição de derivação! Vamos analisar isso de maneira algébrica! Tudo bem? Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, isso é um polinômio de segunda ordem, que em geral tem o seguinte formato

f ( x ) = a x 2 + b x + c

como em nosso caso a = - 1 < 0 , temos que a concavidade é para baixo! Isso é importante, mas vamos guardar essa informação por agora! Uma coisa que vale a pena fazermos, é utilizar a fórmula de Bhaskara para encontrarmos as raízes deste polinômio, temos que

x ± = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

temos que a = - 1 , b = 6 e c = - 10 , portanto, as nossas raízes são

x + = - 6 + 36 - 4 ( - 1 ) ( - 10 ) 2 ( - 1 ) = 3 + 2 i e x - = - 6 - 64 - 4 ( - 1 ) ( - 10 ) 2 ( - 1 ) = 3 - 2 i

ou seja, não temos raízes reais! Mas isso ainda nos indica algumas informações sobre os intervalos de crescimento e decrescimento! Saca só!

Passo 3

Raízes complexas conjugadas são da forma

z = α ± β   i

em que α é a parte real de nossa raíz! Em nosso caso α = 3 e β = 2 . Em particular, o vértice de nossa parábola (máximo ou mínimo) pode ser identificado como x = α = 3 , ou seja, temos que o vértice da parábola está em x = 3 . Porquê isso nos ajuda? Temos uma parábola com concavidade para baixo, portanto, o intervalo de crescimento é tal que

( - ∞ , 3 )

e, o intervalo de decrescimento é

( 3 , ∞ )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Decrescimento: ( 3 , ∞ ) e Crescimento: ( - ∞ , 3 )

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