Suponha que você receba uma oferta para trabalhar por apenas um mês. Qual das seguintes formas de pagamento você prefere?

( a ) Um milhão de dólares no fim do mês.

( b ) Um centavo de dólar no primeiro dia do mês, dois centavos no segundo dia, quatro centavos no terceiro dia, e em geral, 2 n - 1 centavos de dólar no n-ésimo dia.

Passo 1

Eaew, tudo bem com você?

Você vai trabalhar um mês, e tem que receber o seu salário, você pode optar por duas formas de pagamento, ou você recebe $ 1.000.000,00 no final do mês, ou você recebe baseado na seguinte fórmula

C e n t a v o s   p o r   d i a   = 2 n - 1

Como saber qual opção é melhor? Temos que calcular a soma da seguinte série

P a g a m e n t o   =   ∑ n = 1 30 2 n - 1

Vamos tentar fazer isso! Vem comigo!

Passo 2

Vamos primeiro reescrever um pouco a nossa soma

∑ n = 1 30 2 n - 1 = 1 2 ∑ n = 1 30 2 n

Se lembrarmos que a fórmula para o n-ésimo termo de uma progressão geométrica é

a n = a 1 q n - 1

se temos que a 1 = 2 e q = 2 , temos que o n–ésimo termo seria

a n = 2   2 n - 1 = 2 n

Sendo assim, a nossa soma, é a soma de uma progressão geométrica, você lembra como podemos calcular isso? Saca só!

Passo 3

A soma da progressão geométrica finita é dada por

S n = a 1 ( q n - 1 ) q - 1

usando a 1 = 2 e q = 2 , temos que

S n = 2 ( 2 n - 1 ) 2 - 1 = 2 ( 2 n - 1 )

Maravilha! Em trinta dias teremos que n = 30 , portanto, a soma será

S 30 = 2 ( 2 30 - 1 )

e, lembrando que o pagamento é dado por

P a g a m e n t o   = 1 2   ∑ n = 1 30 2 n = ( 2 30 - 1 )

temos

P a g a m e n t o   =   1.073.741.823   c e n t a v o s

Como cada dólar tem 100   c e n t a v o s   d e   d ó l a r , obtemos que o pagamento em dólar é

P a g a m e n t o   =   $ 10.737.418,23

Que é bem maior que um simples $ 1.000.000,00 . Sempre bom saber matemática! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Alternativa ( b )

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