Para cada função f definida abaixo faça todos os itens a seguir:

  • Encontre a função f ' ( x ) e os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;
  • Encontre a função f ' ' ( x ) e estude a concavidade de f .

f x = x 2 e x

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos dá uma função f x e nos pede primeiro para determinarmos a sua derivada f x .

Com essa derivada, devemos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f x , ou seja, devemos determinar os pontos críticos (onde f ' x = 0 ) e verificar o comportamento da função.

Depois, derivamos f ' x para encontrarmos a segunda derivada f ' ' x .

Para verificar a concavidade, temos que lembrar que se a derivada segunda for negativa, a concavidade da função é voltada para baixo e, se for positiva, a concavidade é voltada para cima.

Agora vamos lá!!

😉

Passo 2

Então... primeiramente vamos encontrar a derivada primeira utilizando a regra do produto:

f ' x = e x x 2 ' + x 2 e x '

f ' x = e x 2 x + x 2

Agora vamos fazer f ' x = 0 para encontrarmos os pontos críticos:

e x 2 x + x 2 = 0 ∴

2 x + x 2 = 0 ∴

x 2 + x = 0 ∴

x = 0

x = - 2

Assim, podemos estudar os intervalos da nossa função f ' x = e x 2 x + x 2 :

  • Para valores menores que - 2 (vamos escolher x = - 3 ):
  • f ' - 3 = e - 3 2 - 3 + - 3 2 = 0 , 14936

  • Para valores entre - 2 e 0 (vamos escolher x = - 1 ):
  • f ' - 1 = e - 1 2 - 1 + - 1 2 = - 0,36788

  • Para valores maiores que 0 (vamos escolher x = 1 ):

f ' 1 = e 1 2 1 + 1 2 = 8,1548

Com base nesses resultados, podemos afirmar:

f x = c r e s c e n t e   p a r a   x < - 2 d e c r e s c e n t e   p a r a - 2 < x < 0   c r e s c e n t e   p a r a   x > 0

Passo 3

Derivando f ' x para encontrarmos a segunda derivada, utilizando a regra do produto, obtemos:

f ' ' x = e x 2 x + x 2 ' + 2 x + x 2 e x ' ∴

f ' ' x = e x 2 + 2 x + 2 x + x 2 e x ∴

f ' ' x = e x x 2 + 4 x + 2

Fazendo f ' ' x = 0 , temos:

e x x 2 + 4 x + 2 = 0 ∴

x 2 + 4 x + 2 = 0 ∴

Resolvendo a equação do segundo grau, encontramos:

x = - 2 ± 2

Dessa forma, para valores menores que - 2 - 2 , x 2 + 4 x + 2 é sempre positivo. Assim, a concavidade é voltada para cima.

Por outro lado, para valores entre - 2 - 2 e - 2 + 2 , x 2 + 4 x + 2 é sempre negativo. Assim, a concavidade é voltada para baixo.

Por fim, para valores menores que - 2 + 2 , x 2 + 4 x + 2 é sempre positivo. Assim, a concavidade é voltada para cima.

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f ' x = e x 2 x + x 2

f x = c r e s c e n t e   p a r a   x < - 2 d e c r e s c e n t e   p a r a - 2 < x < 0   c r e s c e n t e   p a r a   x > 0

f ' ' x = e x x 2 + 4 x + 2

Concavidade para cima para - ∞ , - 2 - 2 e - 2 + 2 , + ∞

Concavidade para baixo para - 2 - 2 , - 2 + 2

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