Exercícios Resolvidos de Teste de Crescimento e Decrescimento

Mostre que:

  1. e x > x   ,             x ∈ I R

Passo 1

Entender o que acontece no x → ± ∞

Provar essa inequação parece complicadinho, até porque se fizermos:

lim x → + ∞ ⁡ e x > lim x → + ∞ ⁡ x

∞ > ∞

Eita, mas será mesmo que uns infinitos são menores do que outros ?

Uma estratégia é tentar provar que:

e x - x > 0   ,             x ∈ I R

Que dá no mesmo, mas facilita a nossa vida na hora de aplicar o limite. Vamos então agora calcular:

lim x → + ∞ ⁡ e x - x > 0

E como a questão pede pra provar pra todos os valores reais, vamos ter que calcular também:

lim x → - ∞ ⁡ e x - x > 0

Então vamo que vamo

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calcular o primeiro limite, para x → + ∞

Nesse limite temos duas funções que tendem ao infinito, então:

lim x → + ∞ ⁡ e x - x

É na verdade uma indeterminação do tipo ∞ - ∞ . Temos que então reescrever a função de forma a nos ajudar a sair dessa indeterminação. Vamos começar então por:

lim x → + ∞ ⁡ e x - x =   lim x → + ∞ ⁡ e x 1 - x e x

O que é o mesmo que:

lim x → + ∞ ⁡ e x - x = lim x → + ∞ ⁡ e x lim x → + ∞ ⁡ 1 - x e x

lim x → + ∞ ⁡ e x - x = lim x → + ∞ ⁡ e x lim x → + ∞ ⁡ 1 - lim x → + ∞ ⁡ x e x

Eita, parece mais complicado! Mas de uma boa olhada no último limite na ordem de leitura:

lim x → + ∞ ⁡ x e x

Esse limite é algo que tiramos por L’Hospital! Realizando então:

lim x → + ∞ ⁡ x e x = lim x → + ∞ ⁡ 1 e x

E por fim, ficamos com:

lim x → + ∞ ⁡ e x - x = lim x → + ∞ ⁡ e x lim x → + ∞ ⁡ 1 - lim x → + ∞ ⁡ 1 e x

Agora sim, só aplicar os limites e ver no que dá:

lim x → + ∞ ⁡ e x - x = ∞ 1 - 0

lim x → + ∞ ⁡ e x - x = ∞

E até ontem pelo menos:

∞ > 0

Então esse primeiro limite ta provado. Falta o segundo.

Passo 3

Calcular o primeiro limite, para x → - ∞

Opa, ta acabando. Falta agora só a gente encontrar o limite:

lim x → - ∞ ⁡ e x - x

Vamos separar esse limite e dois e ver cada um, saca só:

lim x → - ∞ ⁡ e x - x = lim x → - ∞ ⁡ e x -   lim x → - ∞ ⁡ x

No primeiro limite, quanto mais negativo for o valor de x , mais positivo é o valor de x na inversa de e x . Em matematiquês, isso é o mesmo que dizer que:

lim x → - ∞ ⁡ e x = lim x → + ∞ ⁡ 1 e x = 0

Já no segundo limite, como f x = x é uma reta, quanto mais negativo for x , mais negativo vai ser f x , logo:

lim x → - ∞ ⁡ x =   - ∞

Juntando os resultados:

lim x → - ∞ ⁡ e x - x = 0 - - ∞ =   ∞

Opa, obtemos o mesmo resultado ∞ > 0 de novo. Maravilha, então realmente, para x crescendo infinitamente para a esquerda e pra direita, e x - x > 0 e logo e x > x .

Resposta

e x > x   ,             x ∈ I R é provado como verdadeiro.

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