Faça alguns exemplos ilustrando o seguinte resultado: seja f uma função contínua no intervalo I = ( a , b ) .

Parte 1: Se f ' x > 0 para todo x ∈ I então f será crescente em I

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa fazendo a seguinte afirmação

Se f ' x > 0 para todo x ∈ I então f será crescente em I

o problema pede exemplos disso!

Para falar em exemplos, precisamos decifrar! Temos que

f ' ( x )

É a função derivada! Ela indica a taxa de crescimento ou decrescimento de uma função! Então quando a derivada de uma função é positiva em um certo intervalo, isso significa que a função é sim crescente!

Agora vamos ver alguns exemplos disso?

Passo 2

Vamos considerar uma função exponencial com base maior do que zero

f x = e x

Sua derivada é

f ' x = e x

E sabemos que o domínio dessa função são todos os reais, então qualquer valor de x que substituirmos na derivada resultará em um valor positivo

Beleza?

Vou começar por x = 1

f ' 1 = e > 0

Ok? E agora um número negativo, como x = - 2

f ' - 2 = e - 2 = 1 e 2 > 0

De qualquer forma temos uma derivada positiva! Pode ser que o valor da derivada seja menor, então a taxa de crescimento é menor, mas ela segue crescendo!

No gráfico estão representadas as duas retas tangentes nos pontos que vimos! A reta mais à esquerda tem uma inclinação menor, mas é uma inclinação positiva. Já a reta da direita é mais íngreme, indicando que ali a função está crescendo a uma taxa maior!

Passo 3

Um outro exemplo é uma função linear do tipo

f x = y = 2 x + 1

Derivando temos uma constante

f ' x = 2 > 0

E que é sempre um valor positivo, assim como a inclinação dessa curva!

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

d e m o n s t r a ç ã o

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