Considere em cada um dos itens abaixo a função dada por g ( x ) e em seguida determine o que

se pede:

g ( x ) = l n ( x ) x

Encontre os intervalos de crescimento e de decrescimento de g ( x ) .

Passo 1

Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de cálculo . Nosso objetivo é encontrar os intervalos de crescimento e de decrescimento de g ( x ) .

Como encontramos as regiões de crescimento e decrescimento de uma função? Ora, fazemos o estudo do sinal da primeira derivada. Então vamos a luta!!!

Vamos começar derivando a nossa g ( x )

d d x g ( x ) = d d x l n ( x ) x

usando a regra da fração, temos:

d d x l n ( x ) x = 1 - l n ( x ) x 2

Passo 2

Agora que temos a nossa derivada, vamos descobrir para quais valores de x ela vale zero. Isto é, quando

1 - l n ( x ) x 2 = 0

então

1 - l n ( x ) x 2 = 0

⇔ 1 - l n ( x ) = 0

⇔ l n ( x ) = 1

Ou seja, temos que

x = e

Passo 3

Agora, podemos fazer nosso estudo de sinal. de

1 - l n ( x ) x 2

O denominador é sempre positivo. Então só precisamos analisar o numerador

1 - l n ( x )

Bem como vimos, ele é zero se x = e . Logo, se x > e . temos:

1 - l n ( x ) < 0

e se se x < e

1 - l n ( x ) > 0

Dessa forma, os intervalos de crescimento/decrescimento de g ( x ) são:

s e   x < e ;   g   é   c r e s c e n t e  

s e   x > e ;   g   é   d e c r e s c e n t e  

Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

s e   x < e ;   g   é   c r e s c e n t e  

s e   x > e ;   g   é   d e c r e s c e n t e  

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