Seja f x = x 2 - 9 x 2 - 4

(a) Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f , e os seus pontos de máximo e mínimo.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, além de determinar seus pontos de máximo e mínimo.

Bom, tanto pra analisar o crescimento/decrescimento da função, quando pra determinar máximos e mínimos, vamos precisar da derivada da função.

Sendo assim, nos pontos onde nossa derivada for nula, temos candidatos a máximo e/ou a mínimo da função, são os chamados pontos críticos. Pra determinar se esses pontos críticos são pontos de máximo ou de mínimo, vamos usar o teste da segunda derivada:

S e   f ' ' c < 0 ,   e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o

S e   f ' ' c > 0 ,   e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o

Depois vamos analisar como a função cresce ou decresce fazendo um quadro de sinais e estudando o sinal da primeira derivada da função.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função f x = x 2 - 9 x 2 - 4 . Pra isso vamos usar a regra do quociente na derivação:

f ' x = x 2 - 9 ' x 2 - 4 - x 2 - 9 x 2 - 4 ' x 2 - 4 2

f ' x = 2 x x 2 - 4 - 2 x ( x 2 - 9 ) x 2 - 4 2

Expandindo o numerador:

f ' x = 2 x 3 - 8 x - 2 x 3 + 18 x x 2 - 4 2 = 1 0 x x 2 - 4 2

Igualando nossa derivada a zero, vamos encontrar os pontos críticos da função:

10 x x 2 - 4 2 = 0

→ 16 x = 0 → x = 0

Então, x = 0 é o nosso único ponto crítico.

Passo 3

Vamos derivar mais uma vez pra verificar se esse é um ponto de máximo ou mínimo. Derivando f ' x = 10 x x 2 - 4 2 , também usando a regra do quociente, temos:

f ' ' x = 10 x ' x 2 - 4 2 - 10 x x 2 - 4 2 ' x 2 - 4 4

f ' ' x = 10 x 2 - 4 2 - 10 x [ 4 x x 2 - 4 ] x 2 - 4 4 = 10 ( - 3 x 2 - 4 ) x 2 - 4 3

E aplicando o ponto x = 0 :

f ' ' 0 = 10 ( - 3 ( 0 ) 2 - 4 ) ( 0 ) 2 - 4 3

f ' ' 0 = - 40 - 64 = 5 8

Como f ' ' 0 > 0 , temos um ponto de mínimo.

Passo 4

Vamos montar nossa tabelinha agora pra estudar o sinal da função. Colocando os pontos críticos em cima e os termos do quociente da derivada separados, juntos com a própria derivada e a função na primeira coluna. Fica assim:

Agora vamos preencher a tabela, começando pela primeira linha, nos intervalos onde a função é negativa e onde ela é positiva. Fazemos a mesma coisa pra segunda linha. Na linha da derivada, dividimos os dois sinais que estão acima dela.

Repare que chegamos ao resultado de que a função está decrescendo no intervalo ( - ∞ ,   0 ) e crescendo no intervalo ( 0 ,   + ∞ ) , como as setinhas indicam.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

M í n i m o   e m   x = 0

C r e s c i m e n t o → ( 0 ,   + ∞ )  

D e c r e s c i m e n t o → ( - ∞ ,   0 )

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