Seja a função g ( x ) contínua e que não se anula para nenhum valor de x em seu domínio. Sabe-se que:

g 3 x = ∫ - x π 2 2 g 2 u + g 2 ( u ) ( sin ⁡ u + cos ⁡ u ) 2 + cos ⁡ u d u

  1. Prove que a função g ( x ) é crescente para x entre ( 0 , π / 2 ) .
  2. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função g ( x ) no ponto x = π 3 .

Passo 1

Faaala, rapeize! Aqui é só aplicação de fórmula. O coeficiente angular de uma reta tangente a g no ponto x = π 3 é dada por:

m = g ' π 3

Contudo, do item ( a ) extraímos:

g ' x = 1 3 ⋅   2 + 2 cos ⁡ x - π 4 2 + cos ⁡ x > 0 ,   ∀ x ∈ R

Logo,

m = 1 3 ⋅   2 + 2 cos ⁡ π 3 - π 4 2 + cos ⁡ π 3

Resposta

m = 1 3 ⋅   2 + 2 cos ⁡ π 3 - π 4 2 + cos ⁡ π 3

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