Exercícios Resolvidos de Teste de crescimento e decrescimento

UERJ - Cálculo 1 – Professora Renata - Lista Derivadas – 15 - Modificado

Determine:

  ( i ) Os intervalos nos quais f é crescente.

( i i ) Os intervalos nos quais f é decrescente.

f x = 1 - x 2 1 + x 3

Passo 1

Para chegar nesses extremos precisamos derivar. Não precisamos nem transformar isso num polinômio e derivar, dá para usar a Regra do Produto:

f ' x = 1 - x 2 ' 1 + x 3 + 1 - x 2 [ 1 + x 3 ] '

f ' x = [ 2 1 - x 1 - x ' ] 1 + x 3 + 1 - x 2 [ 3 1 + x 2 ]

f ' x = [ - 2 1 - x ] 1 + x 3 + 1 - x 2 [ 3 1 + x 2 ]

Repara que dá para colocar em evidência um termo ( 1 - x ) e dois termos ( 1 + x ) :

f ' x = - 2 1 + x + 3 1 - x   1 - x   1 + x 2

f ' x = - 2 - 2 x + 3 - 3 x   1 - x   1 + x 2

f ' x = 1 - 5 x   1 - x 1 + x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que já temos a derivada, para descobrir aonde essa função é crescente ou decrescente precisamos fazer um quadro de sinais com a derivada primeira:

f ' x = ( 1 - 5 x ) 1 - x 1 + x 2

Para construir esse quadro de sinais, é necessário avaliar cada termo dessa derivada. Por exemplo, para 1 - x , sabemos que para qualquer valor de x maior que um, esse termo ficará negativo e para qualquer valor menor que 1, positivo.

Para 1 - 5 x , essa inversão de sinais ocorre em x = 1 / 5 . Mas e para 1 + x 2 ? Nesse caso, para qualquer valor de x, o resultado será positivo, pois qualquer número ao quadrado é positivo e o número “1” que estamos somando também é!

Então, a nossa tabela de sinais fica assim:

A última linha, sinal de f ' ( x ) , é obtida pela multiplicação das outras linhas. Como assim? Vamos olhar para a quarta coluna da tabela. Nessa coluna, multiplicando os sinais das três primeiras linhas (-, + e +), o resultado do produto dá negativo. Portanto, esse é o sinal da última linha (sinal de f ' ( x ) )!

Daí tiramos que a função f ( x ) cresce em todo o domínio, menos no intervalo ( 1 / 5,1 ) , onde é, portanto, decrescente. Formalmente falando:

f   c r e s c e n t e     x - , - 1 ( - 1,1 / 5 ) ( 1 , )

f   d e c r e s c e n t e     x ( 1 / 5,1 )

Resposta

i   f   c r e s c e n t e     x - , - 1 ( - 1,1 / 5 ) ( 1 , )

i i   f   d e c r e s c e n t e     x ( 1 / 5,1 )

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