Seja f x = x e x

(a) Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f , e os seus pontos de máximo e mínimo.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função, além de determinar seus pontos de máximo e mínimo.

Bom, tanto pra analisar o crescimento/decrescimento da função, quando pra determinar máximos e mínimos, vamos precisar da derivada da função.

Sendo assim, nos pontos onde nossa derivada for nula, temos candidatos a máximo e/ou a mínimo da função, são os chamados pontos críticos. Pra determinar se esses pontos críticos são pontos de máximo ou de mínimo, vamos usar o teste da segunda derivada:

S e   f ' ' c < 0 ,   e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m á x i m o

S e   f ' ' c > 0 ,   e n t ã o   x = c   é   u m   p o n t o   d e   m í n i m o

Depois vamos analisar como a função cresce ou decresce fazendo um quadro de sinais e estudando o sinal da primeira derivada da função.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a derivada da função f x = x e x . Pra isso vamos usar a regra do produto na derivação:

f ' x = x ' e x + x e x '

f ' x = e x + x e x

Igualando nossa derivada a zero, vamos encontrar os pontos críticos da função:

e x + x e x = 0

Colocando e x em evidência:

e x 1 + x = 0

A função exponencial nunca vai zerar, então temos:

1 + x = 0

→ x = - 1

Então, x = - 1 é o nosso único ponto crítico.

Passo 3

Vamos derivar mais uma vez pra verificar se esse é um ponto de máximo ou mínimo. Derivando f ' x = e x + x e x , também usando a regra do produto no segundo termo, temos:

f ' ' x = e x ' + [ x ' e x + x e x ' ]

f ' ' x = e x + e x + x e x

f ' ' x = 2 e x + x e x

E aplicando o ponto x = - 1 :

f ' ' - 1 = 2 e - 1 + ( - 1 ) e - 1

f ' ' - 1 = 2 e - 1 - e - 1 = e - 1 = 1 e

Como f ' ' - 1 > 0 , temos um ponto de mínimo.

Passo 4

Vamos montar nossa tabelinha agora pra estudar o sinal da função. Colocando os pontos críticos em cima e os termos do produto da derivada separados, juntos com a própria derivada e a função na primeira coluna. Fica assim:

Agora vamos preencher a tabela, começando pela primeira linha, nos intervalos onde a função é negativa e onde ela é positiva. Fazemos a mesma coisa pra segunda linha. Na linha da derivada, dividimos os dois sinais que estão acima dela.

Repare que chegamos ao resultado de que a função está decrescendo no intervalo ( - ∞ ,   - 1 ) e crescendo no intervalo ( - 1 ,   + ∞ ) , como as setinhas indicam.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

M í n i m o   e m   x = - 1

C r e s c i m e n t o → ( - 1 ,   + ∞ )  

D e c r e s c i m e n t o → ( - ∞ ,   - 1 )

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